Bonjour,


Pour faire court,

En mécanique classique, la mécanique étant la science du mouvement je le rappelle c'est important, l'état du mouvement est complètement déterminé par la donnée du vecteur position et du vecteur vitesse à un instant donné. Leur loi d'évolution au cours du temps est donnée par l'équation de Newton (équation différentielle).

En mécanique quantique, l'état de mouvement, dans le formalisme de Schrödinger, est complètement déterminé par la donnée de la fonction d'onde à un instant donné. Sa loi d'évolution au cours du temps est donnée par l'équation de Schrödinger (qui est aussi une équation différentielle). Le module carré de la fonction d'onde solution de l'équation Schrödinger, représente la densité probabilité, si l'on fait l'analogie dangereuse pour une particule classique ponctuelle, de trouver une particule à la position à l'instant t. Je dis dangereuse car le formalisme de la mécanique est beaucoup plus générale. Dans ce formalisme, les quantités que l'on observe expérimentalement sont décrit par des opérateurs, et pour simplifier si on est à une dimension, représente l'évolution au cours du temps de la probabilité de trouver la valeur "x" lors d'une opération de mesure de position du système physique.


En mécanique classique les lois sont écrites de manière indépendante d'une représentation (notation vectorielle, vectorielle pas au sens mathématique, vectorielle au sens physique).
En mécanique quantique, écrire , c'est déjà donnée une description de l'état du système dans une représentation donnée, ici dans la base de l'opérateur position. Ceci est justifié car les premiers problèmes que tu vas résoudre touchent à la cinématique des de degrés de libertés externes. En représentation position, l'équation de Schrödinger s'écrit


ou est l'opérateur hamiltonien du système en representation position. Si ce dernier est indépendant du temps, tu peux résoudre cette équation à plusieurs variables (temps et espace) par la méthode de séparation des variables, par exemple en cherchant à resoudre pour

Si H est independant du temps,

En divisant les deux membres par Psi


Par exemple le membre de droite est independant du temps, c'est donc une constante du mouvement, C. Tu as deux equations à resoudre, découplées




Soit




La premiere equation etant triviale à résoudre, la seconde étant ce que l'on appelle l'équation de Schrödinger indépendante du temps, contrairement à la plus générale pour Psi. C'est une équation aux valeurs propres.


N'hésite pas à me poser des questions si tu veux éclaircir des points.

Bonjour,

Merci beaucoup d'avoir répondu..aussi bien!

La seule chose qui me manque pour bien comprendre c'est ce H, l'opérateur hamiltonien , qu'est ce que c'est au juste ?

Merci encore !

Bonjour,

L'opérateur hamiltonien en mécanique quantique, lorsque l'on décrit le mouvement dans un référentiel inertiel (galiléen), correspond à l'opération de mesure de l'énergie totale du système physique.  

Il s'agit donc de la somme de deux opérateurs, associés à la mesure de l'énergie cinétique et à la mesure de l'énergie potentielle.


Pour saisir l'intérêt le plus général de l'hamiltonien en physique, il faut étudier la Mécanique Analytique. La mécanique analytique est une formulation beaucoup plus générale des lois physiques basées sur le principe de moindre action. A un logarithme prés, l'équation de Schrödinger est la version quantique de l'équation de Hamilton-Jacobi. La fonction d'onde étant mathématiquement, à un logarithme près, la fonction génératrice de la transformation canonique qui rend l'hamiltonien cyclique, ici diagonale. Je ne vais pas rentrer dans les détails car je pense avoir donner l'essentiel de la réponse dans le paragraphe précédent.

Pas bien d'accord sur l'appellation solution par la methode de séparation des variables. Ici la quantique l'emporte sur les mathématiques car la fonction d'état s'écrit toujours sous la forme d'un produit de fonctions. Non pas parce que les variables sont independantes mais parce que le sens physique du carré de la fonction d'onde est une densité de probabilité. Ainsi ce carré est alors le produit de deux probabilités d'evenements indépendants.Un quantum est dans l'etat r,t si on le trouve et en r et en t.

La méthode employée plus haut est la méthode de séparation des variables, ni plus, ni moins =>

PS: J'ai oublié de préciser le lien entre le fait que apparait comme un produit de fonctions d'onde associées à chaque degré de liberté lorsque que l'action du système est additive. Ceci est tout simplement la cause de mes commentaires plus haut, où j'ai mentionné plusieurs fois que le logarithme de la fonction d'onde est associé à l'action du système.

On peut déjà le voir classiquement, pour un degré de liberté, en partant de l'équation de Hamilton-Jacobi



Poser, ..

Ce n'est pas parceque un Hamiltonien ne s'ecrit pas comme une somme d'hamiltoniens "séparables" que la fonction d'onde ne s'écrit pas sous la forme d'un produit de fonctions. Simplement alors il n'est pas aisé de résoudre l'ES.
Lorque deux évenements sont indépendants alors on a bien P(A.B)= P(A).P(B). On considére une séparation entre temps et espace (quantique non relativiste).
A force de ne voir que l'aspect mathematiques des choses on fait la confusion: si l'équation differentielle ne se présente pas bien et que je ne peux pas employer la méthode de séparation des variables alors la fonction d'onde ne s'ecrit pas sous la forme d'un produit.
C'est à ce niveau que l'interprétation probabiliste de la quantique l'emporte sur les mathématiques.
Il est bien connu que que la fonction d'onde pour (r,t) s'obtient par le produit de la fonction d'onde des etats stationnaires et celui d'une expo complexe.
Avoir un quantum en un point r à l'instant t n'est pas non conforme au principe de Heisenberg qui a trait a la precision de la mesure plutot qu'a l'existence du fait.
Une intrication implique deux objets au moins en interaction. Alors oui il est impossible d'ecrire la fonction d'etat sous la forme d'un produit d'une fonction pour la particule 1 et d'une autre pour la particule 2.
Je pense que la question première ici faisait appel à de la quantique de base notamment pour l'ES d'un seul quantum.