Niveau maths sup

Satellite.

Posté par
adibou 10-02-13 à 12:34

Bonjour à tous, j'ai un problème avec cet exercice:

Un satellite est initialement en rotation circulaire autour de la Terre à une altitude h=400 km. Il possède un réacteur lui permettant d'augmenter sa vitesse orthoradiale de delta v=1 km/s en un temps très court. On donne l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g=9.8m/s^^2 et le rayon de la Terre Rt=6400 km.

1) Exprimer en fonction de g, Rt et h la vitesse vc et le période Tc du satellite sur son orbite circulaire.

2) Le réacteur ayant été allumé en un point P de l'orbite circulaire, caractériser la nouvelle trajectoire (supposé elliptique) du satellite en exprimant et en calculant son périgée rmin et son apogée rmax et sa période de rotation.

3) En déduire les expressions et valeurs du paramètre p et de l'excentricité e de la nouvelle trajectoire.

Pour le 1) je ne vois pas comment faire car j'arrive à exprimer seulement l'altitude h en fonction de la masse de la terre de son rayon, de G et de T mais je n'arrive pas à faire le lien avec g. Pouvez-vous m'aider?

Posté par re : Satellite. 10-02-13 à 16:59

Posté par re : Satellite. 10-02-13 à 21:32

Bonsoir,
D'après la 3ème loi de Kepler :
$\large T_c^2\,=\,\frac{4\pi^2}{GM_T}\,\left(R_T+h\right)^3$
On a :
$\large g\,=\,\frac{GM_T}{R_T^2}\,\Rightarrow\,GM_T\,=\,gR_T^2$
Donc :
$\Large T_c^2\,=\,\frac{4\pi^2}{gR_T^2}\,\left(R_T+h\right)^3\,\Rightarrow\,T_c\,=\,\frac{2\pi}{R_T\sqrt{g}}\,\left(R_T+h\right)^\frac{3}{2}$
et :
$\Large T_c\,=\,\frac{2\pi(R_T+h)}{v_c}\,\Rightarrow\,v_c\,=\,\frac{2\pi(R_T+h)}{T_c}\,=\,\frac{2\pi(R_T+h)}{\frac{2\pi}{R_T\sqrt{g}}\,\left(R_T+h\right)^\frac{3}{2}}\,=\,\frac{R_T\sqrt{g}}{\left(R_T+h\right)^\frac{1}{2}}\,=\,R_T\,\sqrt{\frac{g}{R_T+h}}$

Cela doit résoudre le problème...

Posté par re : Satellite. 10-02-13 à 23:51

Merci beaucoup, la formule avec g ne figurait pas dans mon cours! (ou peut être c'était une conséquence de qqch)

Posté par re : Satellite. 11-02-13 à 12:48

Cela a été (ou aurait dû être) calculé dans les classes précédentes...
Pour calculer le poids d'un objet à la surface de la terre, on a la possibilité d'utiliser le champ de pesanteur :
$\normalsize P\,=\,m\,g$
ou d'utiliser la formule de gravitation universelle :
$\normalsize P\,=\,G\,\frac{m\,M_T}{R_T^2}$
d'où :
$\normalsize m\,g\,=\,G\,\frac{m\,M_T}{R_T^2}$
Donc $\normalsize g\,=\,...$

Posté par re : Satellite. 12-02-13 à 11:33

1)

Sur Terre :
F = GmM/Rt²
P = m.go
Et P = F ---> go = GM/Rt²

A une altitude h :
GmM/(Rt+h)² = m.w².(Rt+h)
GM/(Rt+h)³ = w² = 4Pi²/T²
T² = 4Pi².(Rt+h)³/(GM)
T² = 4Pi².(Rt+h)³/(go.Rt²)

T = 2.Pi.((Rt+h)/Rt).racinecarrée[(Rt+h)/go] avec go = 9,8 m/s²
-----------

2 et 3)

vitesse avant accélération: vo = 2.Pi.(Rt+h)/T
vo = 2.Pi.(Rt+h)/[2.Pi.((Rt+h)/Rt).racinecarrée((Rt+h)/go)]
Vo = Rt/racinecarrée((Rt+h)/go)
Vo = Rt.racinecarrée(go/(Rt+h))

Vo = 6400.10^3 * racinecarrée(9,8/(6400.10^103 + 400.10^3) = 7683 m/s

Juste après accélération: v = 7683 + 1000 = 8683 m/s tangentiellement à la Terre à d = 6800 km du centre de la Terre. C'est le périgée de la nouvelle trajectoire (point P).
(soit périgée à une altitude de 400 km)

E mécanique du satellite = (1/2).m.v² - GmM/d
Em = (1/2).m.7683² - 6,67.10^-11.m.5,97.10^24/6800000 = -4,675.10^7 * m Joules

-4,675.10^7 * m = -GMm/a
a = GM/(4,675.10^7)
a = 6,67.10^-11 * 5,97.10^24/(4,675.10^7)
a = 8,517.10^6 m = 8517 km
Distance entre centre de la Terre et apogée de la trajectoire: d' = 2a - d = 2 * 8517 - 6800 = 10234 km (soit apogée à une altitude de 10234 - 6400 = 3834 km)

GM/a² = (2Pi/T)².a
GM/a³ = (2Pi/T)²
T = 2Pi * racinecarrée(a³/(GM))
T = 7826 s

PF = (1 - e).a (PF :distance entre périgée de la trajectoire et centre de la Terre, e l'excentricité de l'ellispse trajectoire et a son demi grand axe)
(1-e).a = 6,8.10^6 (m)
(1-e) * 8517.10^3 = 6,8.10^6
e = 0,2
-------------
Aucun calculs vérifiés.

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