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roulement sans glissement sur plan incliné
Bonjour, j'aimerais de l'aide pour cette exercice.
Une bille de masse M et rayon r initialement immobile est lâchée en haut d'un plan incliné d'un angle alpha par rapport a l'horizontal sur lequel elle peut rouler sans glisser.
1) déduire de la symétrie du problème et de la conservation d'énergie la direction et le sens du mouvement de la bille.
2) Montrer que ds un référentiel R lié au plan incliné le mouvement de la bille est un mouvement de rotation autour d'un axe instantanné alors que ds référentiel lié au centre de masse Rg de la bille la rotation se fait autour d'un axe fixe que l'on précisera.
3) En raisonnant sur l'énergie déterminer l'accélération de G. Comment ce resultat dépend-il de la masse et du rayon?
Merci pour votre aide
La bille va descendre suivant la ligne de plus grande pente du plan incliné passant par le point de départ de la bille.
La bille tourne sur elle même autour d'un axe horizontal passant par son centre et orthogonal à la ligne de plus grande pente du plan.
... Et dans un référentiel terrestre, G se déplace parallèlement à la ligne de plus grande pente.
3)
En supposant la bille pleine homogène de masse m et de rayon R, le moment d'inertie de la bille par rapport à un axe passant par son centre est J = (2/5).m.R²
Lorsque G (centre d'inertie de la bille) s'est déplacé d'une longueur x, le Epp de la bille a diminué de m.g.x.sin(alpha) (avec alpha l'angle du plan par rapport à l'horizontale).
On a donc : m.g.x.sin(alpha) = (1/2).m.v² + (1/2)*J.w² (somme de l'énergie cinétique de translation et de rotation)
m.g.x.sin(alpha) = (1/2).m.v² + (1/2)*(2/5).m.R².(v/R)²
m.g.x.sin(alpha) = (1/2).m.v² + (1/5).m.v²
m.g.x.sin(alpha) = (7/10).m.v²
g.x.sin(alpha) = (7/10).v²
On dérive par rapport au temps : g . dx/dt .sin(alpha) = 2.(7/10).v . dv/dt
Et comme v = dx/dt et dv/dt = a (accélération de G), il vient :
g.sin(alpha) = (7/5). dv/dt
a = (5.g/7)*sin(alpha)
Avec g l'accélération de la pesanteur.
a ne dépend ni de la masse , ni de R.
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Sauf distraction. 
Bonjour tout le monde ,
Une minuscule précision :
On devine ici que la masse de la bille est répartie de façon homogène comme l'a supposé JP à juste titre.
Son moment d'inertie est alors effectivement : J = 2/5mR²
Pour une répartition non homogène, le moment pourrait être différent.
Par exemple pour une sphère (creuse) on aurait : J = 2/3mR²
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