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ressort
Voilà un tit exo sur les ressort Merci de m'aider
Un pale à coussin d'air de masse m=700g mobile sur uen table horizontale est accrochée à 2 ressorts identiques R1 et R2 de masse négligeable tendus entre 2 points A1 et A2.
ressort : de constante de raideur 20N/m de longueur à vide 18 cm et 25cm lorsue le palet est à l'équilibre
1) frottement négligeable
on écarte le palet de sa position d'équilibre son centre d'inertie G se déplace de A1A2 vers A1 de 2 cm. On abandonne ensuite le palet sans vitesse initiale (origine des dates)
a) donner à une dtae quelconque t l'expression de l'allongement de chacun des ressorts en fonction de x et de G
b) établir l'équation différentielle de mvt(mouvement) de G
c) Exprimer et calculer la pulsation et la période propre du mvt de G
d) écrire l'équation horarire du mvt de G
2) avec frottement
frottement représenté par un vecteur force -(alpha)v(vecteur), alpha constante positive et v vecteur vitesse de G
a) établir l'équation différentielle du mvt de G
b) donner l'allure des courbes représentant l'abscisse x en fct du tps suivant l'importance des frottements
merci d'avance...
1)
Soit x (en mètre) l'écart entre la position instantanée du palet et la position d'équilibre.
Allongement R1 = 7 - x
Allongement R2 = 7 + x
F1 = 20.(7 - x)
F2 = 20(7 + x)
La résultante est R = F2 - F1 (sens positif de A1 vers A2)
R = 40x
Cette résultante provoque une accélération ->
40x = -m.d²x/dt²
40x = -800.d²x/dt²
d²x/dt² + 0,05x = 0 qui est l'équation différentielle du mouvement de G.
Résolution de l'équation:
x = A.sin(V(0,05) . t) + B.cos(V(0,05) . t) (avec V pour racine carrée).
en t = 0, x = 2 -> B = 2
vitesse de G: dx/dt = V(0,05).A.cos(V(0,05) . t) - V(0,05).B.sin(V(0,05) . t)
en t = 0, la vitesse de G est = 0 -> A = 0
Finalement: x = 2.cos(V(0,05) . t)
Oscillation de pulsation w = V(0,05) = 0,2236 radian/seconde
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2)
frottement = -a.v = -a.dx/dt
Force résultante: 40x -(-a.dx/dt)
40x + a.dx/dt = -m.d²x/dt²
800.d²x/dt² + a.dx/dt + 40x = 0 qui est l'équation différentielle du mouvement de G.
800p² + ap + 40 = 0
p = [-a +/- V(a² - 128000)]/1600
1°)
Si a² < 128000, en posant w = (1/1600).V(128000-a²) (V pour racine carrée).
x = e^(-at/1600).[A.sin(wt) + B.cos(wt)]
x(0) = 2 -> B = 2
dx/dt = -(a/1600).e^(-at/1600).[A.sin(wt) + B.cos(wt)] + e^(-at/1600).[Aw.cos(wt) - Bw.sin(wt)]
(dx/dt)(0) = 0 -> -(a/1600)B + Aw = 0
A = a/(800w)
Et finalement:
x = e^(-at/1600).[(a/(800w)).sin(wt) + 2.cos(wt)] avec (1/1600).V(128000-a²)
(Régime oscillatoire amorti).
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2°)
Si a² > 128000
p = [-a +/- V(a² - 128000)]/1600
p1 = [-a - V(a² - 128000)]/1600 (<0)
p2 = [-a + V(a² - 128000)]/1600 (<0)
x = A.e^(p1.t) + B.e^(p2.t)
x(0) = 0 -> A + B = 2
dx/dt = p1.A.e^(p1.t) + p2.B.e^(p2.t)
(dx/dt)(0) = p1.A + p2.B = 0
-> p1.A + p2.(2-A) = 0
A(p1-p2) = -2p2
A = 2p2/(p2-p1) = 1 - (a/(a²-128000))
B = 2p1/(p1-p2) = 1 + (a/(a²-128000))
Et finalement:
x = [1 - (a/(a²-128000))].e^(t.(-a - V(a² - 128000))/1600) + [1 + (a/(a²-128000))].e^(t.(-a + V(a² - 128000))/1600)
(Régime amorti).
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Tu as intérêt a tout vérifier.
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