Bonjour,

Je sollicite un peu d'aide sur l'exercice suivant.


Une poutre droite horizontale de 20m de portée, reposant sur appuis simples à ses extrémités, supporte une charge uniformément réparties de 1500daN par ml sur une longueur de 8m à partir de l'appui de gauche et une charge uniformément répartie de 2000daN par ml sur le restant de la portée.

Outre ces deux charges, la poutre supporte une charge répartie dont l'intensité p est une fonction linéaire de l'abscisse telle qu'à l'appui gauche, l'intensité est de 200daN et à l'appui de droite de 2000daN.

On demande :

1°) De calculer les réactions d'appui sous l'action de toutes les charges appliquées.

2°) De donner les expressions analytiques du moment fléchissant et de l'effort tranchant en un point quelconque de la portée.

3°) De déterminer analytiquement l'abscisse et la valeur du moment fléchissant maximum.

4°) De tracer les lignes représentatives des moments fléchissant et des efforts tranchants d'après les expressions obtenues au 2°).

On supprime maintenant toutes les charges appliquées à la poutre et on les remplace par une charge répartie d'intensité variable P1, fonction linéaire de l'abscisse. Déterminer cette fonction de telle sorte que le moment fléchissant maximum qu'elle développe ait la même valeur qu'au 4°), et qu'il ait lieu à la même abscisse.



Voilà ce que j'ai déjà fait :

J'ai décomposé la charge trapézoïdale en une charge uniformément répartie de 200daN entre x=0 et x=20 et une charge triangulaire de 0 daN en x=0 1800daN en x=20

Notation :
P1 = 1500daN entre x = 0 et x = 8
P2 = 2000daN entre x = 8 et x = 20
P3 = 200daN entre x=0 et x=20
P4 = charge triangulaire, 0daN = x=0 et 1800daN= x = 20


1) Calcul des réactions :

Soit   Ra + Rb = (p1x8) + (p2x12) + (p3x20) + p4x20/2
D'où Ra + Rb = (1500x8) + (2000x12) + (200x20) + ((1800x20)/2)
Donc Ra + Rb = 58 000daN

Soit Mfz(a) = 0
Donc
Mfz(a) = p1x8²/2+(-p2x12)x(8+12/2)+(-p3x20²/2)+(-p4x20/2)(2/3x20)+Rbx20 = 0
Mfz(a) = -1500x8²+(-2000x12)x14)+(-200x20²/2)+(-1800x20/2)(2/3x20)+Rbx20 = 0
Mfz(a) = -664 000 + 20Rb = 0

Système à résoudre est donc:
R(a) + R(b) = 58 000daN       ( 1 )
-664 000 + 20Rb = 0           ( 2 )

De ( 2 ) je retire que Rb = 664 000/20 = 33 200daN


Puis dans ( 1 )

Soit ( 1 ) : Ra + Rb = 58 000daN
avec Rb = 33 200daN
Donc R(a) + 33 200 = 58 000daN
R(a) = 58 000daN - 33 200daN
R(a) = 24 800daN


2°) Détermination analytique des expressions de Mfz et Ty.

Soit dMfz/dx = -Ty
Donc en déterminant Mfz je pourrai en déduire Ty.


Ma première question est comment représenter dans mes calculs la charge triangulaire.

En effet, par exemple :

Sur l'intervalle [8 ;20]

En regardant à droite, s'applique les charges P2, P3 et P4.

Les expressions de P2 et P3, je sais faire, a savoir

Mfz = Rb(L-x)-((L-x)/2).(P2x(L-x))-((L-x)/2).(P3x(L-x))-  ……….
Mfz = 33200(20-x)-((20-x)/2).(2000(20-x))-((20-x)/2).(200x(20-x))- ……..
Mfz = ……

Par contre, à cela je ne sais pas comment y rajouter le moment fléchissant générer par la charge triangulaire et donc décroissante.

En espérant avoir été clair dans ma question.

Merci d'avance pour votre aide.

*** message déplacé ***

Encore une fois, je vais être embêtant car je te propose un exemple :

Soit une poutre droite de longueur L :



On a

Questions
1. Déterminer les réactions d'appui Ya et Yb
2. Déterminer p(x) c'est-à-dire la charge répartie à l'abscisse x
Indication : utiliser le th. de Thalès

3. Déterminer analytiquement Ty et Mfz
4. Tracer les deux diagrammes.

Je vais devoir partir.
On en reparle demain.

Zut, on a

Juste pour indication, car je n'ai pas trop de temps aujourd'hui ...

Question 1 : comme pour une charge linéaire rectiligne, on se ramène à une charge équivalente, sauf que pour un triangle elle se trouve au centre de gravité, donc à L/3 et non pas au milieu comme habituellement !

Sa valeur est entre guillemets l'aire du triangle soit p.L/2.



Je te laisse faire les calculs en guise d'entraînement.

Question 2 :
Déterminons p(x).



D'après le th de Thalès,



soit

On vérifie bien qu'en x = 0, p(0) = p.

Question 3

Même méthode que celle vue précedemment, sauf qu'il ne faut pas oublier où se place la charge équivalente pour le triangle de base (L-x) !

Bon courgage

Bonsoir gbm

Excuses-moi, j'ai été énormément occupé ces derniers jours. Je te présente mes expressions analytiques trouvées pour mon exercice (question 2).


Intervalle [0 ;8] en regardant vers la gauche :

Mfz = -Ra.x + (P1.x²)/2 + (P3.x²)/2 + (P4.x/L).x/2.x/3
Mfz = -24800x + 1500.x²/2 + 200x²/2 + (1800x/20).x/2.x/3
Mfz = -24800x + 750x² + 100x² + 15x3
Mfz = 15x3 + 850x² - 24800x

Où (P4x/L).(x/2).(x/3) est le moment fléchissant généré par ma charge triangulaire, avec

P4.x/20, valeur de la charge à l'abscisse x (j'ai tiré cela du théorème de Thalès)
x/2, permettant d'obtenir la valeur résultante de la charge (aire du triangle)
x/3, le bras de levier ( le CdG étant situé au 2/3 de x en partant de l'appui gauche)


J'obtient Ty en dérivant Mfz

Soit Ty = 450x² + 1900x - 24800


Intervalle [8 ;20] en regardant vers la gauche :

Mfz = -Ra.x + (8.P1)(x-4) + P3.x²/2 + 15x3 + P2(x-8).(x-8)/2
Mfz = -Ra.x + (8.P1.x-32.P1) + (P3.x²/2) + 15x3 + (P2x-8.P2)((x-8)/2)
Mfz = -24800x + (8.1500.x - 32.1500) + (100x²) + 15x3 + (2000.x-8.2000)((x-8)/2)
Mfz = -24800x + 12000x - 48000 + 100x² + 15x3 + (2000.x² - 16000x - 16000x + 128000)/2
Mfz = -24800x + 12000x - 48000 + 100x² + 15x3 + 1000x² - 16000x + 64000
Mfz = 15x3 + 1100x² - 28800x + 16000

Donc Ty = 450x² + 2200x - 28800


Qu'en penses tu ?


Merci d'avance

Bonjour
moi je pense que cette reponse est la meilleur mais je voudrais présenter cette autre représentation où nous avons une poutre chargée comme cela se présente sur cette représentation. Comment pourra t on trouver la valeur de la charge au point E et trouver la résultante de la figure ainsi obtenue ?
voici la figure :


Pour ma résolution, je pense avoir qu'on va encore utiliser la relation de thalès en ces termes :

(P(E)- 10)/AB = (AB/CB) si [u]e ne me trompe pas. Cela devra donner la valeur de P(E).
Mais avec cette valeur de P(E) on se retrouve avec un trapeze AEDC (à moins que je ne me trompe)
merci de votre aide

je corrige
(P(E)- 10)/AB = ((70-10)/CB)
j'espere que c'est juste maintenant