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rdm2

Posté par
Physical111 03-05-24 à 15:46

Bonjour à tous,
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit une poutre droite de longueur L encastrée à une extrémité et soumise à une charge répartie tel qu'il est illustré sur la figure ci-dessous:
rdm2
1) Déterminer les réactions à l'encastrement
2) Évaluer l'effort tranchant et du moment fléchissant puis tracer leurs diagrammes
3) Écrire l'expression de la déformée et en déduire la flèche maximale
mes propositions :
1) nous allons convertir les charges répartie en une charge concentré P=qL
a=b=L/2
Representation des réactions aux appuis et la charge concentrique
rdm2
Les équations de la statique :
Fx=0
FB=0N
Fy=0
-P+RB=0
<=> RB=P=qL(N)
M/B=0
<=> P*L/2-MB=0
MB=P*L/2(N.m)
2) calcul des efforts interne T(x) ,M(x) et N(x)
•0<x<L/2
rdm2
Nous avons :
Fx=0
-N(x)+FB=0<=> N(x)=FB=0N
Fy=0
RB-T(x)-qx=0
T(x)=RB-qx
M/C1=0
-MB+RBx-qx*x/2=M(x)
3) double intégration pour calculer la flèche
y
E=module de young
Merci beaucoup

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 04-05-24 à 11:47

Bonjour Physical111,

Question 1 : pourquoi avoir modélisé ton moment lié à l'encastrement en B dans le sens indirect du repère ?

Question 2

Il faut que tu termines tes calculs.

Une manière de vérifier si tes expressions de l'effort tranchant selon y et ton moment fléchissant selon z :

\boxed{\dfrac{d M_{fz}}{dx} = -T_y}

Question 3

Oui, pour déterminer le déplacement selon x, il faut appliquer la formule :

E \times I(G,z) \dfrac{d ^2 u}{dx^2} = d M_{fz}

Cela consistera à faire une double intégration en exploitant judicieusement les conditions aux limites pour gérer les constantes d'intégration.

Posté par
Physical111re : rdm2 04-05-24 à 15:31

Bonjour
Question 1
Je change le sens de MB de
(x->y)
Je trouve :M_B=\dfrac{-PL}{2}
Question 2
Question 2
Je change le sens de M(x) vers le bas
Je trouve que \dfrac{M_{fz}}{dx}=-R_B+qx=-T_y(x)
Question 3
Je voulais écrire :
\dfrac{d²y}{dx²}=-\dfrac{M_{fz}(x)}{EI}
Merci beaucoup

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 05-05-24 à 09:32

Question 2 :

Voilà donc une manière à retenir pour vérifier tes calculs !

Remplace "Rb" par sa valeur et développe Mfz pour simplifier au maximum sont expression en vue de la double intégration.

Question 3 :

Oui c'est ce que j'ai écrit mais tu pouvais laisser les constantes E et I dans le membre de gauche, ça n'impacte pas la double intégration dans un premier temps.

Et donc ça donne quoi la suite ?

Posté par
Physical111re : rdm2 05-05-24 à 11:36

Bonjour
Question 3
EI d2y=-Mf(x) dx2
<=> EId²y=\left(-M_B -qLx+q\dfrac{x²}{2} \right)dx²\leftrightarrow
EI dy=\left( -M_B x-qL\dfrac{x²}{2}+q\dfrac{x^3}{6}+c_1\right)dx\leftrightarrow EI y=q\dfrac{L²}{4}x²-\dfrac{qL}{6} x^{3} +\dfrac{q}{24} x^{4} +C_1 x+C_2
Merci beaucoup

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 05-05-24 à 20:47

Remplace MB par sa valeur dans l'équation.

Ensuite, quelles conditions aux limites peux-tu exploiter pour gérer les constantes d'intégration ?

Pense aux propriétés des appuis ...

Posté par
Physical111re : rdm2 06-05-24 à 00:15

Bonjour
EIy=-q\dfrac{L²}{4}x²+q\dfrac{L}{6}x^{3}-\dfrac{q}{24}x^{4}+C_1 x+C_2
•EI y'=\left( -q\dfrac{L²}{2}x+qL\dfrac{x²}{2}-q\dfrac{x^{3}}{6}+C_1\right)
•x=0 y'=0
C1=0
•x=0, y=0, C2=0
•x=L/2
y_{(x=\dfrac{L}{2})}=\dfrac{1}{EI}\left( -q\dfrac{L^{4}}{16}+\dfrac{qL^{4}}{48}-\dfrac{qL^{4}}{384}\right)=\dfrac{-17qL^{4}}{384EI}
Merci

Posté par
Physical111re : rdm2 06-05-24 à 01:07

Bonjour
Pour la Question 2
0<x<L/2 est suffisante puisqu'on a une charge répartie le long de la poutre
Sans avoir L/2<x<L car on aura même chose
Merci

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 06-05-24 à 10:38

Si ton origine du repère est en B, ta flèche maximale est en x = L et non en x = L/2

Posté par
Physical111re : rdm2 06-05-24 à 11:05

Bonjour
Oui effectivement :
•y_{x=L}=\dfrac{1}{EI}\left(-q\dfrac{L^4}{4}+\dfrac{qL^4}{6} -\dfrac{qL^4}{24}\right)=\dfrac{-qL^4}{8EI}

Citation :
Pour la Question 2
0<x<L/2 est suffisante puisqu'on a une charge répartie le long de la poutre
Sans avoir L/2<x<L car on aura même chose

Merci

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 06-05-24 à 19:31

C'est bien ça !!

Posté par
Physical111re : rdm2 06-05-24 à 19:51

Bonsoir
Veuillez s'il vous plaît me confirmer si ceci est juste

Citation :
Pour la Question 2
0<x<L/2 est suffisante puisqu'on a une charge répartie le long de la poutre
Sans avoir L/2<x<L car on aura même chose

Merci beaucoup

Posté par
aphecutre : rdm2 06-05-24 à 23:17

Bonjour Physical111
Pouvez vous me clarifiez vos réponse
J'ai pas compris pourquoi vous avez travailler sur l'extremité B

Posté par
Physical111re : rdm2 07-05-24 à 09:39

Bonjour
S'il vous plaît veuillez me confirmer ces deux diagrammes :
rdm2
Merci beaucoup

Posté par
gbm Webmasterre : rdm2 07-05-24 à 14:09

Quelques commentaires :

* quel est ton origine du repère ? A ou B ?
J'ai l'impression que l'énoncé demande que x = 0 soit en A alors que tu as fait le contraire ;

* il y a un souci avec Mfz :

- tu te souviens que dMfz/dx = -Ty
- or ton diagramme conduit à avoir Ty 0
- donc dMfz/dx = - Ty 0, ça devrait donc être une fonction décroissante, ce qui n'est pas le cas ici ;
- de même ça devrait être une parabole alors que tu as des portions de droites.

Reprends donc le diagramme Ty avec le bon repère et reprends ensuite Mfz.


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