Niveau maths spé

Question sur les symetries du champ electrostatique

Posté par
simoh 10-01-10 à 00:43

Bonsoir tout le monde.
J'ai une quetion concernat les symetries du champs electrostatique .

Si est un plan de symétrie pour une distribution de charge donnée alors on a:
V(M)=V(symétrique de M) (1)
E(symM)=symE(M) (2)

Or,si on applique l'opérateur -grad sur (1) on aboutit à E(M)=E(symM), donc d'après (2)on aura E(M)=symE(M)pour tout point M de l'espace ce qui est faux bien entendu .
Voila,pourvu que je dis n'importe quoi et dans ce cas ayez la gentillesse de me corriger s'il vous plait .

Posté par re : Question sur les symetries du champ electrostatique 10-01-10 à 01:32

Sois rassuré... tu dis effectivement n'importe quoi

Le fait que le potentiel présente cette propriété de symétrie ne signifie pas qu'elle est préservée lorsqu'on lui applique l'opérateur gradient.

Par exemple, en se munissant d'un repère orthonormé tel que le plan (xOy) soit un plan de symétrie, on a

$V(x,y,z)=V(x,y,-z)$

d'où

$\vec{E}(x,y,z)=-\vec{\nabla} V(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial V}{\partial x} (x,y,z)\\\frac{\partial V}{\partial y} (x,y,z)\\\frac{\partial V}{\partial z} (x,y,z)\end{array}\right)$

mais:

$\vec{E}(x,y,-z)=-\vec{\nabla} V(x,y,-z)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial V}{\partial x} (x,y,z)\\\frac{\partial V}{\partial y} (x,y,z)\\-\frac{\partial V}{\partial z} (x,y,z)\end{array}\right)$

car

$\frac{\partial V}{\partial z} (x,y,-z)=-\frac{\partial V}{\partial z} (x,y,z)$ (dérivée d'une fonction composée)