Par définition, une force dérive d'une énergie potentielle, s'il existe une fonction telle que:



Un critère mathématique est que le rotationnel d'une telle force est nul.

Si le travail élémentaire de la force s'écrit sous la forme d'une différentielle exacte, alors on peut tout à fait l'intégrer et on exhibe ainsi une fonction qui vérifie la condition ci-dessus. On peut donc légitimement en déduire que la force est conservative.

Note que le fait qu'une force dérive d'une énergie potentielle implique que son travail sur un corps ne dépend pas du chemin suivi par ce dernier mais uniquement de ses positions initiale et finale.

L'énoncé est:
F dérive-t-elle d'une énergie potentielle?
W=F*d(TM)
or F=-(G*m*M)/r² et d(TM)= drur où ur est le vecteur dont le point d'application est T, le centre de la Terre, et qui est dirigé vers un point M, de masse m. Donc: W=-G*M*m*(dr/r²)=-dEp dEp=G*M*m*(dr/r²)Ep=-(G*M*m)/r+cste
Je n'ai tjrs pas compris pourquoi le prof écrit l'égalité W=-dEp alors qu' on cherche justement à vérifier si F dérive d'une énergie potentielle... Merci!!

Ton prof montre qu'il existe une quantité dont la variation correspond à l'inverse du travail. Ce qui te gêne peut-être c'est que ton prof l'appelle prématurément , mais le simple fait de pouvoir trouver une fonction telle que indépendament du chemin parcouru par la masse suffit à conclure que dérive bien d'une énergie potentielle...

Ona pas plutôt : W=d(Ep) ?
Si R est une force de frottement, qu'est-ce qui m'empêche d'écrire mathématiquement que:
W(R)=-d(Ep) .

**W=-dEp

En ce qui concerne les notations, personnellement j'écris (ou )

Pour les forces de frottements, ce qui t'empêche d'écrire l'égalité que tu indiques, c'est que n'est pas une différentielle exacte. On ne peut pas trouver une fonction telle que le travail entre deux points et s'exprimer simplement comme . Le travail dépend aussi du chemin parcouru.

Je crois que j'ai compris. En fait, si on peut trouver une expression simple de Ep en écrivant l'égalité alors on a bien W=-dEp et la force est conservative. Et ça permet d'écrire (dans la suite de l'exercice) que Ec+Ep=Em=cste
-Il est vraiment impossible de trouver une expression de Ep simple pour des forces de frottement?
-Et le fait d'utiliser l'intégrale première du mvt est juste une autre technique de résolution d'exercice (qu'on peut utiliser pour les oscillateurs harmoniques par exemple)?

Le problème n'est pas trouver une expression simple de l'énergie potentielle pour les frottements. Les frottements correspondant à une force non conservative, l'énergie potentielle n'est tout simplement pas définie.

Par exemple, en supposant que les forces de frottement sont constantes et opposées au mouvement, comment exprimerais-tu leur travail sur une trajectoire donnée?

On aurait (f: forces de frottement avec f=-k*v
W(f)=f*d(OM)=-k*v*dr=-d(Ep) avec OM=r*Ur (Ur vecteur unitaire)
d'où Ep=-kv*dr=... après je sais pas comment faire. C'est impossible de continuer?

Les forces de frottements  que tu as choisies ne sont pas constantes mais proportionnelles à la vitesse. Mais on voit d'autant mieux qu'en un point de l'espace donné, l'orientation de ces forces dépend entièrement de la direction du mouvement ce qui n'est pas compatible avec l'existence d'une énergie potentielle ne dépendant pas de la trajectoire suivie.

L'écriture de ton prof pouvait sembler légèrement abusive dans le sens où il était en train d'établir l'existence de l'énergie potentielle tout en considérant qu'elle existait a priori. Dans ton cas, utiliser la notation comme si l'on était capable de définir une telle fonction est totalement abusif.

Mais pourtant Ep=-k*v*dr est défini mathématiquement et donc Ep existe non?
Et si on avait f=k=cste, l'intégrale serait facile à trouver, exacte et Ep existerait?

Non, l'intégrale est définie pour une trajectoire donnée et correspond au travail des forces de frottement sur cette trajectoire et rien de plus. Mais la valeur de l'intégrale dépend autant de ses bornes que de la trajectoire suivie entre celles-ci. On ne connait pas sa valeur de façon générale. J'ai peur que la notion d'énergie potentielle t'échappe un peu.

Considère la variation d'énergie potentielle de pesanteur par exemple: elle ne dépend que de la variation d'altitude, peu important que cette variation se soit faite selon une trajectoire verticale, circulaire etc. Seuls le point de départ et le point d'arrivée comptent. En particulier, si le point de départ et le point d'arrivée sont indentiques, la variation d'énergie potentielle est nulle et le travail l'est également. Est-ce le cas des forces de frottements d'après toi? Récupère-t-on l'énergie perdue par frottement en faisant simplement marche arrière?

Quant au cas où les forces de frottements sont constantes, si l'intégrale est facile à prouver, écris-la et on pourra discuter du résultat...

Ok pour les forces de frottement non constantes
Pour f=k=cste, on aurait:
W(f)=f*d(Om)=k*dx=-dEp ie Ep=-0,5*kx² et ça ressemble à l'expression de l'énergie potentielle élastique???
Merci!

Il y a un petit problème avec ton expression : on obtient des valeurs de travail opposées selon que le mouvement s'effectue dans le sens des croissant ou décroissant. Or, une propriété de ces forces de frottement est de s'opposer constamment au mouvement si bien que leur travail est toujours négatif indépendamment du sens du mouvement et se traduisent donc toujours par une perte d'énergie.

Le travail entre un point A et B vaut pour une force conservative. On en déduit que ce qui s'oppose directement à la propriété ci-dessus. Les forces de frottements ne peuvent donc être représentées à partir d'une énergie potentielle.

Il faut lire:

Le travail entre un point A et B vaut   pour une force conservative. On en déduit que  ce qui s'oppose directement à la propriété ci-dessus. Les forces de frottements ne peuvent donc être représentées à partir d'une énergie potentielle.

D'accord,pour -W (B->A) les forces de frottement ont le même sens que le mouvement, ce qui est impossible; mais mathématiquement il n'y a pas de faute dans l'intégrale?
Merci!

L'intégrale est forcément correcte puisqu'elle correspond au calcul du travail qui est défini pour toute force, qu'elle soit conservative ou non.

Ce qui n'est pas correct, c'est d'essayer d'y associer une énergie potentielle.

D'accord, je crois que j'ai enfin compris!Merci!