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Probleme équation caractéristique: regime critique aperiodique
Bonjour j'ai quelque probleme pour un exercice :
On a dUc²/dt² + (1/T)dUc/dt + wo² Uc = 0 avec wo²=1/LC . T=L/R
On a Q=Two qui est le facteur de qualité
1/ Résoudre l'équation caractéristique et établir les conditions sur Q pour distinguer les trois régimes.
2/ Solution pseudo-périodique :
_ Donner la forme d'une solution en fonction des grandeurs T et Q, et montrer qu'elle fait intervenir un terme de la forme : exp(-t/2T)sin(wt+
) avec w=wo
(1-1/4Q²)
3/ Le module '' modélisation'' d'un logiciel propose d'écrire la solution pseudo-periodique sous une forme faisant intervenir une expression du type :
exp(-m2
fot) sin(2ft+)
Montrer que Q=1/2m.
J'ai trouver pour la question 1 :
Pour Q=1/2 régime critique : avec f(t)=(At+B)exp(-t/2T)
Pour Q<1/2 régime apériodique je n'ai pas réussi a trouve la forme de la solution
Pour Q>1/2 regime pseudo périodique idem
Merci de m'aider 
p² + p/T + wo² = 0
p = [-1/T +/- (1/T² - 4wo²)^(1/2)]/2
p = [-1/T +/- (1/T).(1 - 4wo²T²)^(1/2)]/2
a)
Si 1 - 4wo²T² < 0, soit donc si wo.T > 1/2
Le régime est pseudo périodique et on a :
p1 = -1/(2T) - j.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1)
p2 = -1/(2T) + j.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1)
Uc = A.e^(-t/(2T)).e^(-j.t.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1)) + B.e^(-t/(2T)).e^(j.t.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1))
Uc = e^(-t/(2T)) * [A.e^(-j.t.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1)) + B.e^(j.t.(1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1))]
Et avec e^(jx) = cos(x) + j.sin(x), en triturant un peu la ligne ci-dessus, on peut l'écrire sous la forme :
Uc = C.e^(-t/(2T)) * sin(wt + Phi)
avec w = (1/(2T)).racinecarrée(4wo²T²-1) = racinecarrée(wo² - 1/(4T²)) = racinecarrée(wo² - wo²/(4Q²)) = wo.racinecarrée(1 - 1/(4Q²))
C et Phi sont des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
b)
Si 1 - 4wo²T² = 0, soit donc si wo.T = 1/2
Le régime est critique.
on a p1 = p2 = -1/(2T)
Uc = A.e^(-t/(2T)) + B.t.e^(-t/(2T))
A et B sont des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
c)
Si 1 - 4wo²T² > 0, soit donc si wo.T < 1/2
Le régime est apériodique.
p1 = (-1/(2T)) * [1 + racinecarrée(1 - 4wo²T²)]
p2 = (-1/(2T)) * [1 - racinecarrée(1 - 4wo²T²)]
Uc = A.e^(p1.t) + B.e^(p2.t)
A et B sont des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
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Sauf distraction.
Pour la derniere question j'ai essayer de faire pas identification :
par identification on a :
-m2f0= -1/2T
j'en deduis que T = 1/ ( 2m42fo)
Comme Q = Two et que wo = 2f0
je trouve Q = 1/(2m 2 2fo) je comprend pas pourquoi je trouve pas ce qu'il faut ....
J'ai montré que le régime pseudopériodique pouvait s'écrire Uc = C.e^(-t/(2T)) * sin(wt + Phi)
Or
1/(2T) = wo/(2woT)
et comme woT = Q ---> 1/(2T) = wo/(2Q) = 2Pi.fo/(2Q)
Si on veut avoir : 1/(2T) = m.2Pi.fo, alors il faut : 2Pi.fo/(2Q) = m.2Pi.fo
---> m = 1/(2Q)
Q = 1/(2m)
On a alors : Uc = C.e^(-m.2Pi.fo.t) * sin(wt + Phi)
Sauf distraction.
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