Bonjour,
Deux charges q sont placées aux points J et K de part et d'autre d'un point O tel que JO=d, OK=d, et donc JK=2d
On veut connaître le diamètre minimum 2R de la sphère conductrice reliée à la Terre tel que la répulsion mutuelle soit neutralisée.
On utilise les images électriques pour résoudre ce problème, c'est à dire qu'on considère un nouveau système équivalent avec les 2 charges q mais sans sphère condutrice. À la place on a deux charges q' qu'il faut positionner telles que la surface de la sphère fictive soit une équipotentielle nulle.
Ils demandent en premier la valeur de q', puis la position OJ'=OK'=d' de q',tout ça en fonction de q, d, et R, et de justifier la réponse...

Intuitivement, comme on n'a aucune autre indication, je dirais q'=-q, car si le système est globalement neutre on doit pouvoir annuler le champ plus facilement et trouver de l'équipotentielle sphérique plus facilement par considération de symétrie... mais je ne vois pas comment le justifier rigoureusement. Comment puis-je montrer que que avec q'=-q on peut trouver une distribution de ces 4 charges telle que la surface d'une sphère fictive est équipotentielle ? Et inversement, comment puis-je montrer que c'est la seule solution possible ? Puisqu'on peut très bien annuler le potentiel en certains points même si q'=/=-q...

Pour les positions des q', j'ai essayé de les trouver en admettant q'=-q, mais je ne sais même pas si c'est vrai... et je n'ai eu aucun succès.
Je ne sais pas si les charges q' sont censées être sur la droite (JOK) ou non, parce qu'instinctivement je dirais que non, mais l'énoncé semble indiquer implicitement que ça devrait être le cas (Puisqu'ils demandent la distance OJ'=OK', sans demander d'information supplémentaire, ce qui ne permet pas de décrire un point (x,y) du plan... à moins qu'on admette qu'il soit placé sur une certaine droite, et la seule droite "caractéristique", c'est (JOK))
Donc j'ai essayé les deux :



Premier essai : les q' sont placées sur la droite (JOK)symétriquement par rapport à O.
Je me suis dit que j'allais essayer d'annuler le potentiel en deux points stratégiques A et B...
Je note pour simplifier un petit peu...
...
Par symétrie, V(B)=V(A)...
et avec un logiciel de calcul formel, j'ai trouvé une solution, mais qui ne marche que pour les points A et B (et pas sur les autres points de la sphère, donc j'imagine que c'est pas ça... et tant mieux car trouver la solution à la main me semble être un travail pharaonique...)

Deuxième essai : d'instinct, je place les q' sur la droite fictive passant par O et perpendiculaire à (JOK), avec la distance d'=d, de manière à former un carré de charges à signes alternés... surtout que mon intuition semble être vérifiée par une simulation numérique : http://projects.wox-xion.ch/tm/TM.pdf, figure 41 page 22 trouvée sur le web, on voit clairement un cercle comment surface équipotentielle (et donc sphère en 3D) au centre de la figure.
Mais là je n'arrive pas à trouver la sphère ou l'équation d'équipotentielle qui ressemble à une sphère... Si je place les q' comme je l'ai dit, je ne trouve pas V=0 à certains points de ma sphère...

Quelqu'un peut-il me mettre sur la piste ? Merci...