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Problème à force centrale et conservative
Bonjour,
J'ai un DM en physique et j'ai un exercice qui concerne la terre et la force gravitationnelle exercée sur les satellites :
1) Quelles forces agissent sur les satellites si on néglige les autres astres alentours ?
--> La force gravitationnelle sans oublier les résultantes centrifuges et centripètes.
2)Rappeler la valeur du poids d'une masse à la surface de la terre : P=mg.
En déduire l'expression de g par G,M et R :
g = GM/R²
3)Exprimer par d, R, g la valeur de la force grav qui agit sur un tel satellite, d'en déduire l'accélération correspondante :
Je pense qu'il y a une petite erreur j'ai mis :
f= GM/(R+d)² * m
( d étant la distance du satellite par rapport à la terre )
Puis, avec le principe fondamental de la dynamique :
fgrav = ma
donc GM/(R+d)² = a.
4) Exprimer l'accélération centripète d'un tel satellite par sa vitesse
5)En sachant l'accélération centripète du satellite et l'accélération a, exprimer sa vitesse linéaire et angulaire par les paramètres du problème
6) Faut-il mettre un satellite plus ou moins proche de la terre pour augmenter sa vitesse ?
---> Il faut le mettre plus loin
Exprimer la vitesse linéaire maximale et la vitesse angulaire maximale.
7) Une application numérique puis il faut estimer la période de rotation correspondante.
Merci, si vous pouviez m'aider à corriger ce que j'ai déjà fait et à m'expliquer un peu la force centripète ce serait gentil.
4)
a_c = - v²/(d+R)
---
5)
v²/(d+R) = GM/(R+d)²
v = Racinecarrée[GM/(R+d)]
w = v/(R+d)
w = Racinecarrée[GM/(R+d)³]
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6)
v = Racinecarrée[GM/(R+d)]
Pour que v augmente, il faut que (R+d) diminue.
---> Le satellite doit être plus proche de la Terre pour que sa vitesse soit plus grande.
V max est pour d = 0 --> V max = Racinecarrée[GM/R]
et w max = Racinecarrée[GM/R³]
---
Sauf distraction. 
Merci, mais tu pourrais écrire plus de phrase pour expliquer, par exemple, Ac, notre accélération centripète, c'est un résultat ou simplement une formule à appliquer ?
L'accélération dans un mouvement circulaire uniforme est centripète et vaut -v²/R avec v la vitesse instantanée (et constante) du mobile en trajectoire sur un cercle de rayon R.
C'est à connaître et retenir ... et facile à démontrer (comme par exemple ci-dessous) :
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Soit un mobile M repéré par ses coordoonées x(t) et y(t) dans un réepère orthonormé, le cercle trajectoire de rayon R étant centré sur l'origine O du repère
On a :
x = R.cos(wt)
y = R.sin(wt)
Avec w la vitesse angulaire constante. Les coordonnées du vecteur position de M sont (R.cos(wt) ; R.sin(wt))
Donc : vecteur(OM) = (R.cos(wt) ; R.sin(wt))
dx/dt = -wR.sin(wt)
dy/dt = wR.cos(wt)
d²x/dt² = -w²R.cos(wt)
d²y/dt² = -w²R.sin(wt)
Vecteur accélération de M (-w²R.cos(wt) ; -w²R.sin(wt)) = -w².(R.cos(wt) ; R.sin(wt)) = -w².vecteur(OM)
Et donc le vecteur accélération a la même direction, mais est de sens opposé au vecteur OM, le vecteur accélération "pointe" donc vers le centre du cercle.
L'accélération est donc centripète.
Et avec Vecteur accélération de M (-w²R.cos(wt) ; -w²R.sin(wt))
|Vecteur accélération de M| = racinecarrée[(-w²R.cos(wt))² + (-w²R.sin(wt))²] = w²R
et comme w = v/R, on peut aussi écrire |Vecteur accélération de M| = (v/R)²*R = v²/R
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Donc dans un mouvement circulaire uniforme à la vitesse v sur un cercle de rayon R, l'accélération est centripète et d'amplitude = v²/R
On a : vecteur accélération = -(v²/R) . vecteur(OM)
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Dans le cas de l'exercice, le rayon du cercle est R+d et on a alors :
vecteur(a_c) = - v²/(d+R) . vecteur(position)
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Sauf distraction.
Merci J-P,
La vitesse, son expression, tu l'obtiens juste en intégrant l'accélération a ? Et tu injectes l'expression de v et tu simplifies ? Pareil pour w ?
Ah non, d'accord j'ai compris.
Toute fois, ça fait longtemps que je n'ai pas fait de mécanique, je ne me souvenais pas que l'accélération centripète soit équivalente à l'accélération globale !
Toute fois, ça fait longtemps que je n'ai pas fait de mécanique, je ne me souvenais pas que l'accélération centripète soit équivalente à l'accélération globale !
Ce n'est pas toujours le cas, cela dépend du type de mouvement.
Mais, ici, pour un mouvement circulaire uniforme il a été montré que :
vecteur accélération = -(v²/R) . vecteur(OM)
Et donc le vecteur accélération a la même direction, mais est de sens opposé au vecteur OM, le vecteur accélération "pointe" donc vers le centre du cercle.
L'accélération est donc centripète.
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Si on avait eu un mouvement circulaire non uniforme ... alors le vecteur accélération aurait eu une composante centripète et une composante tangentielle.
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