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Niveau maths sup
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pont, méthode des complexes

Posté par
geronimo 652 31-12-09 à 18:30

bonsoir,
J'ai un soucis avec quelques question d'un exercice. Voici l'énoncé:
en fait on a schéma représentant un circuit où l'on a:

une résistance R_1 en série avec une bobine L, et ces deux dipoles sont en paralléle avec un condensateur de capcité C en série avec une résistance R_2

donc on a (R1 et L)//(C et R2), ça constitue le dipôle AB

i est l'intensité du courant arrivant au borne du dipôle et u est la tension au borne du dipôle orienté de B vers A

on me dit le dipôle AB est alimenté par une tension u(t)=Ucos(wt)

question 1: déterminer i(t)=Icos(wt+\Phi) par la méthode des complexes

donc j'ai:
i(t)= u/(Z_{ens})

je trouve donc 6$I=U\sqrt{(\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2}{1+R_2^2C^2w^2})^2+(\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2})^2^}

après 6$tan(\Phi)=\frac{\frac{Cw}{1R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2}}{\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2}{1+R_2^2C^2w^2}}
et cos(\phi)>0

je ne sais pas si j'ai bon...

Question 2:Quelle est la condition pour que i etu soient en phase quelque soit w?
j'avais eu un exo similaire et il fallait que Z_{ens} soit réél
or ça donne quelque chose d'horrible car
6$Z_{ens}=\frac{1}{\frac{1}{R_1+jLw}-\frac{jCw}{1+R_2jCw}}

et sa partie imaginaire vaut:
6$Im(Z_{ens})=\frac{(R_1R_2Cw+Lw)(1-LCw^2)-(R_2Cw+R_1Cw)(R_1-R_2LCw^2)}{(1-LCw^2)^2+C^2w^2(R_1+R_2)^2^}

et 6$Im(Z_{ens})=0 ne donne rein de sympathique...

si quelqu'un peutm'aider, merci d'avance
gero

ps: je n'ai pas réussi à mettre d'image, j'espère que vous allez comprndre quel est le schéma...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 31-12-09 à 18:53

déjà es-ce la bonne méthode?
car je ne suis pas convaincu que i et u sont en phase ssi l'impédance est réél...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 31-12-09 à 19:18

mais je suis vraiment idiot de m'inspirer d'un exercice d'avant!
ici il suffit que phi soit nul cad que tan(phi) soit nul... non?

dsl pour ce monologue mais en cherchant je vois que j'ai dit une bêtise...

par contrer je ne comprends pas quand on utlise ça:

Citation :
car je ne suis pas convaincu que i et u sont en phase ssi l'impédance est réél...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 10:00

j'ai trouvé quelques  réponses à mes questionsles bulles des champagne ont, à croire, des effets bénéfiques !

j'ai utlisé la même métode en fait
car tan=(partie imaginaire)/(partie réél)
donc tan=0 lorsque partie imaginaire=0

je trouve que i et u sont en phase quand R_1=\sqrt{\frac{L}{C}} et R_2=\frac{L}{C}

donc quand R_2=R_1^2

après on me demande que vaut Z_{ens} et là je bloque complétement au niveau calculatoire, je sais que la partie imaginaire et nul et j'ai remplacé R_2 par R_1^2 mais je ne parviens au bout, es ce que l'on pourrait m'aider, svp...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 13:48

voici un schéma:
  __R1___S____L___
_|                           |_
  |__C___T____R2__|

S et T sont deux points...
j'ai aussi un problème plus grave: je ne 'arrive pas à déterminer la tenion u_{ST} dans la cas
R1=100 ohm  R2=150 ohm  Lw=75 ohm  et 1/Cw=200ohm

et je ne vois absolument pas comment faire... car je n'ai jamais calculer de tension comme ça en plein milieu d'un circuit en parallèle...

j'ai vraiment besoin d'aide svp car j'en ai besoin pour la dernière question: déterminer le générateur de thévenin équivalent entre les point S et T

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:05

Bonjour,
J'ai vu ton message sur l'autre topic... A première vue, ce n'est pas très compliqué. Je regarde ça...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:09

meric beaucoup Marc35

pour ce qui est de la question: que vaut alors l'impédance je pense arriver à trouvé car il suffit de remplacer...

mais par contre u_{ST} je ne vois pas...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:22

il faut que je parte, je repaserais ce soir avec mes trouvailles... mais pour l'impédance ne vous inquiétez pas je vais bien finir par trouver...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:26

Pour i, je trouve :
3$I\,=\,U\,sqrt{\Big(\frac{R_1\,+\,R_2}{R_1\,R_2}\Big)^2\,+\,\Big(\frac{LC\omega^2\,-\,1}{L\omega}\Big)^2\,}
et :
3$\phi\,=\,arctan\Big(\frac{R_1\,R_2}{R_1\,+\,R_2}\,\frac{LC\omega^2\,-\,1}{L\omega}\Big)

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:28

J'ai fait le calcul par les admittances. C'est beaucoup plus simple...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 14:54

Désolé... La réponse que j'ai donné est fausse. Je recommence...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 16:15

Pour i, je trouve :
3$I\,=\,\frac{U}{R_1}\,\frac{sqrt{(1-LC\omega^2)^2\,+\,(R_1+R_2)^2C^2\omega^2}}{sqrt{\Big(1-\frac{R_1}{R_2}LC\omega^2\Big)^2\,+\,\Big(\frac{L}{R_1}+R_2C\Big)^2\omega^2\,}}
et :
3$\phi\,=\,arctan\Big(\frac{(R_1+R_2)C\omega}{1-LC\omega^2}\Big)\,-\,arctan\Bigg(\frac{\Big(\frac{L}{R_1}+R_2C\Big)\omega}{1-\frac{R_1}{R_2}LC\omega^2}\Bigg)

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 16:41

Pour la question 2, on a le déphasage de i par rapport à u.
3$\phi\,=\,\varphi _N\,-\,\varphi _D
Donc, si i et u sont en phase :
\phi\,=\,0\,\Rightarrow\,\varphi _N\,=\,\varphi _D
Donc
tan\,\varphi _N\,=\,tan\,\varphi _D
Donc
3$\frac{(R_1+R_2)C\omega}{1-LC\omega^2}\,=\,\frac{\Big(\frac{L}{R_1}+R_2C\Big)\omega}{1-\frac{R_1}{R_2}LC\omega^2}
Ce qui aboutit à :
3$\frac{LC\omega^2}{R_1}\,(L-R_2^2C)\,-\,\frac{L}{R_1}\,+\,R_1C\,=\,0
Cela doit être vrai quel que soit :
3$\Rightarrow\,L-R_2^2C\,=\,0\,\,et\,\,-\frac{L}{R_1}\,+\,R_1C\,=\,0
d'où :
3$R_1\,=\,R_2\,=\,sqrt{\frac{L}{C}}

Cette fois-ci, sans erreur, je pense ...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 16:48

Pour UST, il suffit de prendre une maille, par exemple :
UST - USA + UTA = 0
UST =  USA - UTA
UST =  UR1 - UC

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 17:32

Il y a plus facile :
uST - uL + uR2 = 0
uST = uL - uR2

3$u_L\,=\,u\,\frac{jL\omega}{R_1+jL\omega}

3$u_R_2\,=\,u\,\frac{R_2}{R_2+\frac{1}{jC\omega}}

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 19:51

oula, j'ai compris pour 3$u_{ST}, je suis bête de ne pas avoir pensé à la loi de maille...

par contre pour les première questions, je n'ai pas les mêmes résultats

notamment je trouve
3$I=U\sqrt{(\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w})^2+(\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2})^2}

je te donne ma méthode car celle-ci est peut-être fausse...

ma solution:
on a i=u/Z ou Z est impédance de l'ensemble
or 3$\frac{1}{Z}=\frac{1}{R_1+jLw}+\frac{jCw}{1+R_2jCw}=\frac{R_1-jLw}{R_1^2+L^2w^2^}+\frac{jCw(1-R_2jCw)}{1+R_2^2C^2w^2^}=\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w^}+j\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2}

D'ou
3$Ie^{j\Phi}=U[\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w^}+j\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2}]

donc 3$I=|U||\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w^}+j\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2}|

soit 3$I=U\sqrt{(\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w})^2+(\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2})^2}

et après pour phi j'utilise tan=(partie imaginaire)/(partie réél)

merci d'avance ...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 19:59

de même je trouve R_1=\sqrt{\frac{L}{C}} et R_2=\frac{L}{C}

en appliquant tan(\Phi}=0
on a
\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2}=0 \\ \Longleftrightarrow \frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}=\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2} \\ \Longleftrightarrow (R_1^2+L^2w^2)Cw=Lw(R_2^2C^2-L^2) \\ \Longleftrightarrow CR_1^2-L=w^2(R_2^C^2-L^2)
c'est vrai quelque soit w donc pour que ça soit vrai il faut que les deux membres soit nuls

\Longrightarrow  CR_1^2-L=0 et R_2^C^2-L^2=0

soit R_1=\sqrt{\frac{L}{C}} et R_2=\frac{L}{C}

voilà...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 20:05

et en fait, j'avais complétement oublié:

Bonne année 2010 !

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 21:18

Citation :
3$\frac{1}{Z}=\frac{1}{R_1+jLw}+\frac{jCw}{1+R_2jCw}=\frac{R_1-jLw}{R_1^2+L^2w^2^}+\frac{jCw(1-R_2jCw)}{1+R_2^2C^2w^2^}=\frac{R_1}{R_1^2+L^2w^2}+\frac{C^2w^2^}{1+R_2^2C^2w^}+j\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}-\frac{Lw}{R_1^2+Lw^2}

Il y a une erreur de calcul dans cette ligne (correction ci-dessous). J'aurais voulu mettre l'erreur d'une autre couleur mais je n'y arrive pas...
Il manque R2 (et des parenthèses).

3$\frac{1}{Z}=\frac{1}{R_1+jL\omega}+\frac{jC\omega}{1+R_2jC\omega}=\frac{R_1-jL\omega}{R_1^2+L^2\omega^2^}+\frac{jC\omega(1-R_2jCw)}{1+R_2^2C^2\omega^2^}=\frac{R_1}{R_1^2+L^2\omega^2}+\frac{R_2C^2\omega^2^}{1+R_2^2C^2\omega^2}+j\Big(\frac{C\omega}{1+R_2^2C^2\omega^2}-\frac{L\omega}{R_1^2+L\omega^2}\Big)

Pour écrire en LaTeX (à la place de w), il faut écrire \omega.

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 21:19

Bonne année 2010 également !...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 21:22

oosp oui le R_2

dsl pour les aprenthéses, c'est un oublie de ma part...
mais sinon ma méthode est bonne?

car après ça ne me change pas ma partie imaginaire et comme tan=0 si partie imaginaire=0

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:06

Citation :
\Longleftrightarrow\,\frac{Cw}{1+R_2^2C^2w^2}=\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2}
\Longleftrightarrow (R_1^2+L^2w^2)Cw=Lw(R_2^2C^2-L^2)

Le passage d'une ligne à l'autre ne me paraît pas limpide .

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:17

oui erreur de ma part j'ai fais un mix de deux lignes...
\\ \frac{Cw}{1+R_1^2C^2w^2}=\frac{Lw}{R_1^2+L^2w^2} \\ \Longleftrightarrow (R_1^2+L^2w^2)(Cw)=(Lw)(1+R_2^2C^2w^2) \\

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:25

pour la maille, je ne vois pas comme vous faîtes car comment faire apparaître u_{ST}

j'ai u_{R_1}+u_L-u_c-u_{R_2}=0 mais je crois qu'on ne prends pas la même maille... mais je ne vois pas...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:33

Oui mais ce que je veux faire apparaitre, c'est que je ne trouve pas la même chose...
Je trouve
3$R_1\,=\,R_2\,=\,sqrt{\frac{L}{C}}
et non pas
R_1=\sqrt{\frac{L}{C}}\,\,et\,\,R_2=\frac{L}{C}

Sinon la méthode est bonne puisque u = Z i (en complexe)
donc Z + i = u = 0
==> i = - Z
donc si on veut i = 0, on a donc Z = 0.

Pour la maille, je vais faire un schéma.

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:43

Le schéma :

pont, méthode des complexes

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:45

Pour UL et UR2, il ne faut pas utilser le courant mais le pont diviseur sur chaque branche

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 22:55

oui étrange et je ne vois où se trouve la faute dans mon calcul...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 01-01-10 à 23:06

Je l'ai vue... Elle se trouve à l'endroit que j'ai indiqué.
Si je refais le calcul, je trouve ma réponse.

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 10:17

la faute que vous m'avez mentionner se trouve dans la partie réel qui n'intervient nullement ici car on résous partie imaginaire=0... mais je vais regardez ça de plus prés...

par contre pour u_{ST} je trouve que ça vaut 0...

donc pour répondre à:

Citation :
déterminer le générateur de thévenin équivalent entre les point S et T


je ne sais pas trop quoi répondre car on ne va éliminer la partie de drite du circuit...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 10:40

ah oui aussi en quoi était-ce prévisible que u_{ST} était égal à 0 ?

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 13:28

Citation :
la faute que vous m'avez mentionnée se trouve dans la partie réelle qui n'intervient nullement ici car on résout partie imaginaire=0... mais je vais regardez ça de plus prés...

Il y a une autre erreur de calcul après. Je vais mettre le détail...
De toute façon, il suffit de vérifier l'homogénéité...
Le rapport L/C a pour dimension 2.
Donc  R_1=\sqrt{\frac{L}{C}}  , ça fait bien donc c'est homogène mais  R_2=\frac{L}{C} fait que R2 est égale à une expression dont la dimension est 2, ce qui ne va pas du tout.
Citation :
pour UST je trouve que ça vaut 0.

Non, ça ne vaut pas 0 sauf si on se place dans le cas où i et u sont en phase
Citation :
déterminer le générateur de Thévenin équivalent entre les point S et T

Je n'ai pas encore fait mais il faut appliquer "bêtement" Thévenin. Pour appliquer Thévenin, il faut déconnecter le "circuit extérieur" entre S et T qui n'existe pas donc déconnecté d'office ...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 13:51

Je reprends la calcul du message  "Posté le 01-01-10 à 19:59"

3$\frac{C\omega}{1+R_2^2C^2\omega^2}-\frac{L\omega}{R_1^2+L^2\omega^2}=0

3$\Longleftrightarrow\,\frac{C\omega}{1+R_2^2C^2\omega^2}=\frac{L\omega}{R_1^2+L^2\omega^2}

2$\Longleftrightarrow (R_1^2+L^2\omega^2)C\omega=L\omega(1+R_2^2C^2\omega^2)

2$\Longleftrightarrow (R_1^2+L^2\omega^2)C\,=\,L(1+R_2^2C^2\omega^2)

2$\Longleftrightarrow\,R_1^2C+L^2C\omega^2\,=\,L+R_2^2LC^2\omega^2

2$\Longleftrightarrow\,LC\omega^2(L-R_2^2C)\,+\,R_1^2C-L\,=\,0

Pour que ceci soit vrai quel que soit , on doit avoir :
L-R_2^2C\,=\,0\,\,et\,\,R_1^2C-L\,=\,0

D'où :
L-R_2^2C\,=\,0\,\Rightarrow\,R_2\,=\,sqrt{\frac{L}{C}
et
R_1^2C-L\,=\,0\,\Rightarrow\,R_1\,=\,sqrt{\frac{L}{C}

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 13:55

Quant au générateur de Thévenin, on a calculé UST qui est le Eth du générateur de Thévenin équivalent.
Pour Rth, il suffit d'éteindre le générateur et le remplacer par son impédance interne, donc court-circuiter A et B. Ensuite, il suffit de calculer l'impédance vue entre S et T.

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 14:33

mais oui, je ne sais pas ce que j'ai fait, j'ai voulu sauté une ligne de calcul et voilà je me suis planté...

par contre u_{ST} vaut bien 0 si on prends:

Citation :
R1=100 ohm  R2=150 ohm  Lw=75 ohm  et 1/(Cw)=200ohm


car 3$u_{ST}=u_L-u_{R_2}=U[\frac{75j}{100+75j}-\frac{150}{150-200j}]=U[\frac{75j(100-75j)}{15625}-\frac{150(150+200j)}{62500}]=U[\frac{22 500-22 500}{62500}+j\frac{30 000-30 000}{62 500}]=0

et pour thévenin, il faut en déduire donc ça doit être une conséquence de u_{ST}=0

mais je regarde plus attentivement ton dernier post...

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 15:11

UST = 0... Je n'avais pas compris que c'était dans le cadre de l'application numérique
U_{ST}\,=\,u\,jC\omega\,\frac{\frac{L}{C}-R_2R_1}{(R_1+jL\omega)(R_2+\frac{1}{jC\omega})}
que l'on peut écrire, pour les besoins du calcul :
U_{ST}\,=\,u\,jC\omega\,\frac{\frac{L\omega}{C\omega}-R_2R_1}{(R_1+jL\omega)(R_2+\frac{1}{jC\omega})}

Et l'application numérique donne effectivement  U_{ST}\,=\,0
C'est égal à 0 quand i et u sont en phase mais pas seulement dans ce cas. C'est vrai à chaque fois que  \frac{L\omega}{C\omega}\,=\,R_2R_1

Pour le générateur de Thévenin équivalent, je suppose que c'est dans le cas général (pas dans le cadre de l'application numérique) ?...
Donc il faut prendre :
2$E_{th}\,=\,u\,jC\omega\,\frac{\frac{L}{C}-R_2R_1}{(R_1+jL\omega)(R_2+\frac{1}{jC\omega})}

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 15:15

Non...L'expression est fausse.
U_{ST}\,=\,u\,jC\omega\,\frac{\frac{L}{C}-R_2R_1}{(R_1+jL\omega)(1+jR_2C\omega)}
Donc :
2$E_{th}\,=\,u\,jC\omega\,\frac{\frac{L}{C}-R_2R_1}{(R_1+jL\omega)(1+jR_2C\omega)}

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 15:18

Il faut toujours veiller à l'homogénéité d'une formule.
Une formule exacte est toujours homogène mais la réciproque n'est pas vraie : ce n'est pas parce que une formule est homogène qu'elle est bonne. Mais, si une formule n'est pas homogène, elle est forcément faussse.

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 16:06

Citation :
(pas dans le cadre de l'application numérique) ?


à vrai dire, je ne sais pas trop car om dit "en déduire"...

dans ce que vous écrivez, on dit que u_{ST}=E_{th}, c'est bien ça?
donc si on place dans la 'apllication numérique on aurait 0 donc le générateur thévenin serait un fil ? c'est étrange ...

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 16:09

ah oui aussi pourquoi était-ce prévisible que u_{ST} était égale à 0?  

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 18:37

Citation :
pourquoi était-ce prévisible que u_{ST} était égale à 0?

Ce n'était pas prévisible...

Citation :
je ne sais pas trop car on dit "en déduire"...

Pour calculer UST dans l'application numérique, il faut bien l'avoir calculé littéralement avant puis faire l'application numérique.
Il n'y a pas d'intérêt à calculer un générateur de Thévenin équivalent si Eth = 0 . Donc c'est dans le cas général, pas dans le cas de l'application numérique.
"En déduire" ==> on a déjà Eth puisque Eth = UST.
Il ne reste plus qu'à calculer Zth, ce qui explique le "en déduire".

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 21:48

Je proposerais pour Z_{th}:
Z_{th}=Z_L+Z_{R_2}

mais on peut dire aussi que
Z_{th}=Z_{R_1}+Z_C

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 02-01-10 à 23:17

Si on applique le théorème de Thévenin pour Zth, on obtient :

pont, méthode des complexes

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 03-01-10 à 10:19

donc ce que j'ai dis est corect, non?

Posté par
Marc35re : pont, méthode des complexes 03-01-10 à 12:18

Non, Zth ne peut pas avoir deux valeurs
Z_{th}=Z_L+Z_{R_2}
ou
Z_{th}=Z_{R_1}+Z_C

On a, par simple application du théorème de Thévenin :
2$Z_{th}\,=\,( Z_L\,//\,Z_{R_1} )\,+\,( Z_C\,//\,Z_{R_2} )

Posté par
geronimo 652re : pont, méthode des complexes 04-01-10 à 16:41

ok, merci beaucoup Marc35 pour ton aide...

Posté par
J-Pre : pont, méthode des complexes 04-01-10 à 18:15

Sans avoir tout lu, il me semble qu'il y aurait bien une bisbouille quelque part dans le calcul de Phi.

La tangente étant Pi périodique, il faut se méfier de calculer les arguments par la tangente sans précaution.

z = a + ib a un argument = arctg(b/a) si a est > 0 mais a un argument = Pi + arctg(b/a) si a est < 0

Et donc dans l'exercice, l'expression de Phi dépend du signe de (1-w²LC)


1)

Z = (R1 + jwL) en // avec (R2 + 1/jwC)

Z = (R1 + jwL) en // avec ((1 + jwCR2)/jwC)

1/Z = 1/(R1 + jwL) + jwC/(1 + jwCR2)

1/Z = [(1 + jwCR2) + jwC.(R1 + jwL)]/[(1 + jwCR2)(R1 + jwL)]

1/Z = ((1 - w²LC) + jwC(R1+R2))/[(1 + jwCR2)(R1 + jwL)]

Z = (1 + jwCR2)(R1 + jwL)/((1 - w²LC) + jwC(R1+R2))

|Z|² = (1 + w²C²R2²) * (R1² + w²L²) /((1 - w²LC)² + w²C²(R1+R2)²)

|Z| = V[(1 + w²C²R2²) * (R1² + w²L²) /((1 - w²LC)² + w²C²(R1+R2)²)]Avec V pour racine carrée.

Si 1 - w²LC > 0 :   Phi = arg(z) = arctg(wCR2) + arctg(wL/R1) - arctg(wC(R1+R2)/(1-w²LC))

Si 1 - w²LC < 0 :   Phi = arg(z) = arctg(wCR2) + arctg(wL/R1) - Pi - arctg(wC(R1+R2)/(1-w²LC))

....
----------
2)

Il faut Phi = 0

Soit pour R1 = R2 = V(L/C)
R1² = R2² = L/C
-----------

Fait à la va-vite et donc peut être avec des erreurs.


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