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Période Orbitale - Démonstration de la formule

Posté par Clefie (invité) 08-02-07 à 12:28

Bonjour. Je ne sais pas si on peut poser ce genre de question sur ce forum mais bon je peux toujours essayer ! Alors voici mon problème :
Je fais un TPE sur les satellites (notamment sur les lois de Kepler et Newton) et on a trouvé la formule de la période orbitale(= période de révolution) :
T = 2(a3/GM)
Où T  est la période orbitale, a la longueur du demi-grand axe de l'orbite, G la constante de gravitation et M la masse de l'objet.

Et les profs nous ont demandé de démontrer cette formule sauf que... JE ne vois pas comment. Si vous pouviez m'aider merci d'avance !

Posté par
Coll Moderateur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 12:39

Bonjour,

Je te donne les pistes. Tu peux ensuite calculer facilement...

La force d'attraction du satellite de masse m par la Terre de masse M, la distance du satellite au centre de la Terre étant a est :

F = G M m / a2

Cette force est celle qui permet la trajectoire circulaire et donc F = m v2 / a

La vitesse v est liée à la période de révolution car v = 2a / T

Voilà, tu as tous les ingrédients pour retrouver ta formule !

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:07

Ok. Je vois en gros mais par contre je ne vois pas comment on arrive à a3.

Posté par
Coll Moderateur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:14

Fais le calcul (pas "en gros") ; il n'est pas difficile...

simplification par m qui n'intervient pas (un tout petit objet comme un très gros satellite suivent la même trajectoire en orbite : c'est pour cela que l'objet semble "flotter" dans la cabine du satellite)

remplacement de v par sa valeur (donc remplacement de v2)
T2 isolé au premier membre
et racine carrée pour avoir T

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:29

Je suis vraiment desolée mais je ne comprends pas
Tu m'as donné les formules suivantes :
F = GMm/a²
F = mv²/a
V = 2pi*a/T

Dans quelle formule je simplifie par m ? Dans F = mv²/a ? Et ensuite je remplace V par sa formule

Posté par
Coll Moderateur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:32

G M m / a2 = m v2 / a

simplification par m
et remplacement de v2 par 4 2 a2 / T2

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:36

Ok. Merci

Posté par
Coll Moderateur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:37

Je t'en prie
A une prochaine fois !

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 13:39

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 15:33

Bon j'y ai réfléchis et j'ai un gros problème !! (desolée le doc. joint n'est peut être pas très clair) et donc en faisant ça jarrivais à T Sauf que je viens de me rendre compte qu'à la 2ème ligne je n'ai pas mis v²/a
J'ai juste mis V²
Et je ne vois pas comment faire avec le V²/a
Svp j'ai encore besoin d'aide...

Période Orbitale - Démonstration de la formule

Posté par
J-P Correcteur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 15:59

Dans le cas d'une orbite circulaire.

Force d'attraction astre-satellite:
F = GmM/d²

avec G la constante de gravitation, m la masse du satellite, M la lmasse de l'astre Parent et d la distance entre les centres d'inertie astre et satellite.

Force centripède = mw²d avec w la vitesse angulaire de satellite autour de l'astre.

On a GmM/d² = mw²d puisque le mouvement est circulaire uniforme.

GM = w²d³

Ew w = 2Pi/T (T étant la période) -->

GM = (4Pi²/T²)d³

T² = 4Pi².d³/GM

T = 2\pi.\sqrt{\frac{d^3}{GM}}
-----

Posté par
Coll Moderateur
re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 16:08

3$ \frac{GMm}{a^2}\,=\,\frac{mv^2}{a}

3$ \frac{GM}{a}\,=\,v^2\,=\,\frac{4{\pi}^2a^2}{T^2}

3$ T^2\,=\,\frac{4{\pi}^2a^3}{GM}

3$ T\,=\,2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}

Posté par Clefie (invité)re : Période Orbitale - Démonstration de la formule 08-02-07 à 16:10

Ok. En fait je me suis un peu compliquée la vie j'ai fait ça (voir doc joint). Ai-je fais des erreurs svp ? (les numéros indiquent l'ordre mais je pense que c'était évident, mais sait-on jamais ^^)

Période Orbitale - Démonstration de la formule

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