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Paquet d'onde Gaussien

Posté par
TheBartov 05-05-14 à 16:09

Bonjour, j'ai un problème de Méca Q à résoudre. Soit une fonction d'onde

$\Psi (x,t=0)=\frac{\sqrt{a}}{(2\pi)^{3/4}}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-\frac{a^2}{4}(k-k_0)^2}e^{jkx}}dk$

Sachant que

$\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{\alpha (x-\beta)^2}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

Ils me demandent de calculer (x,0). Voyez vous comment faire ? J'ai pensé décomposer l'exponentielle complexe en cos(kx)+j sin(kx), mais je tombe sur une forme indéterminée : cos()-cos(-) dans le calcul...

Merci de votre aide =)

Posté par re : Paquet d'onde Gaussien 05-05-14 à 22:38

Bonjour,

Grâce à ce qu'on t'a donné tu peux calculer $\Psi(x=0,t=0)$ .. donc si tu as une équation différentielle pour .. c'est fini.

je prend a^2 = 2 et k0 = 0 car je suis feignant

$d\Psi(x)/dx = () \int () jk e^{jkx}$
$= -j() \int d(e^{-k^2/2})/dk e^{jkx}$
$= j() \int e^{-k^2/2} d(e^{jkx})/dk$
$= j() \int e^{-k^2/2} jx e^{jkx}$
$= -x \Psi(x)$

donc $\Psi(x) = \Psi(x=0)e^{-x^2/2}$

Posté par re : Paquet d'onde Gaussien 06-05-14 à 18:14

Bonsoir,

Tout d'abord, merci pour votre réponse ! =)

Petite question : je vois que vous cherché à calculer $\frac{d\psi}{dx}$ , mais dans la deuxième ligne, je ne comprends pas pourquoi vous dérivé par rapport à $k$ . Mais quoiqu'il en soit, bravo à vous, c'est une belle méthode de résolution =)

Posté par re : Paquet d'onde Gaussien 06-05-14 à 18:59

Bonjour,

Oui, au début je dérive par rapport à x, ce qui grâce aux propriétés des exponentielles donnent le terme jk.
Tu peux voir que jke^(-k^2/2), en oubliant les constantes, correspond à la dérivée première par rapport à k, de e^(-k^2/2). En effet, celle-ci vaut -2k/2 e^(-k^2/2).. Ensuite on intègre par partie avec le fait que e^(-k^2/2) s'annule pour k a l'infini.

Tu es le bienvenu . A toi de refaire le calcul avec toutes les constantes.

Posté par re : Paquet d'onde Gaussien 07-05-14 à 00:45

Bonsoir,

Bienvue ! merci encore pour votre patience ! C'est rare de tomber sur un correcteur qui se prend le temps de répondre.

Bonne soirée !

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