Bonjour,
Actuellement en MPSI à Dijon, j'aurai aimé un éclaircissement de cette situation.
J'ai un exercice de physique sur les oscillateurs harmoniques que je n'arrive pas à finir..
Le voici :
On considère 2 oscillateurs harmoniques couplés. On appelle x1 et x2 les déplacements de M1 et M2 (des 2 masses) par rapport à leurs positions d'équilibre respective, sachant que au repos, les ressorts ne sont pas tendu. Les deux masses ont pour valeur m, les ressorts ont pour raideur k, K, k. On néglige les frottements.
Le dessin ressemblerait à ca :

(mur)//-----m-----m-----//(mur)    avec m, les deux objets entre 2 ressorts chacun
               k             K             k

1. Ecrire deux équations différentielles de x1 et x2 avec les données de l'énoncé.
2. Résoudre ces équations. On pose ensuite w1=(k/m)   et w2=(k+2K/m) et on prendra les conditions initiales tel que à t=0s, x1=0, v1=0, x2=P et v2=0
Définir ensuite x1(t) et x2(t).
Quelle est pour finir l'allure des solutions quand ww' (mais pas w=w')

Voici mes réponses :
1. Pour x1,
m.a = -kx1 + K(x2-x1)
m(d^2x1/dt^2) + kx1 - K(x2-x1) = 0

Pour x2,
m(d^2x2/dt^2) + kx2 + K(x2-x1) = 0

2.
On a donc :
m(d^2x1/dt^2) + kx1 - K(x2-x1) = 0
m(d^2x2/dt^2) + kx2 + K(x2-x1) = 0

En faisant :
u = x1 + x2
v = x2 - x2

On a :
m(d^2u/dt^2) + ku = 0
m(d^2v/dt^2) + v(k+2K) = 0

Ensuite :
(d^2u/dt^2) + u.W1^2 = 0
(d^2v/dt^2) + v.W2^2 = 0

Après je ne suis pas sur : je sais que les solutions sont du type :
u(t) = Acos(W1.t + )
v(t) = A'cos(W2.t + ')

Ensuite je ne sais pas quoi faire, j'ai essayé avec en revenant aux variables initiales :
x1(t) = ((u(t)+v(t))/2
x2(t) = ((u(t)-v(t))/2

J'ai essayé de dériver x1(t) et x2(t) et d'essayer de trouver les équations avec les conditions initiales mais cela n'a rien donné...
Merci si qqn pourrait m'éclairer