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Oscillateur harmonique et position d'équilibre
Bonsoir, j'ai une petite question qui est en fait une question de cours. C'est à propos du mouvement dans une cuvette parabolique de potentiel on étudie le mouvement d'un point M autour d'une position d'équilibre stable x0 lors de petits mouvements. On a donc Ep(x)
Ep(x0)+(x-x0)E'p(x0)+((x-x0)/2)E''p(x0) or E'(x0)=0 car c'est une position d'équilibre. Ma première question est le au lieu du égal est-ce parce qu'on ne met pas le o(x2) car en math on nous a dit que c'était de "vraies" égalités. Ensuite on a écrit que si E''(x0)
0, les petites oscillations autour de la position d'équilibre x0 sont celle d'un oscillateur harmonique, je ne comprends pas cette conséquence quelqu'un peut il m'expliquer, il faudrait se ramener à une équation différentielle de la forme x1''+
02x1=0 avec x1=x-x0 mais je ne vois pas comment faire . Merci d'avance bonne soirée.
Il manque un carré dans ce que tu as écrit.
Ep(x0)+(x-x0)E'p(x0)+(/2)E''p(x0) sont les 3 premiers termes du développement de Taylor de Ep(x) autour de xo, il manque donc tous les termes suivants.
Si, dans les conditions de l'essai, on peut considérer les effets des termes suivants comme très petits devant ceux écrits, alors on n'écrit pas les termes qui suivent. Néanmoins, les termes ainsi "négligés" bien que petits ne sont pas nuls et impose l'utilisation du
Ep(x) Ep(x0)+(x-x0)E'p(x0)+(
/2)E''p(x0)
... On ne saurait pas faire grand chose d'ailleurs du o(x²) ou machins du genre pour manipuler les équations différentielles qui découlent et en tirer des conclusions pratiques..
(pragmatisme des physiciens).
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E'p(xo) = 0 pour les raisons évoquées dans ton texte et donc :
Ep(x) Ep(x0) + ((x-x0)²/2)E''p(x0) (1)
y = yo + k(x-xo)² (parabole)
Ep = mgy (en prenant y=0 comme "altitude" pour les Ep de pesanteur nulle)
Ep = mg.yo + mgk(x-xo)² ... qui est bien de la forme de (1)
Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.[(dx/dt)²+(dy/dt)²]
Or dy = 2k.(x-xo).dx -->
Ec = (1/2).m.[1+ 4k²(x-xo)²] (dx/dt)²
Eméca = Ep + Ec
Eméca = mg.yo + mgk(x-xo)² + (1/2).m.[1+ 4k²(x-xo)²] (dx/dt)²
Et si x reste proche de xo, alors 4k²(x-xo)² < < 1 et on a :
Eméca = mg.yo + mgk(x-xo)² + (1/2).m. (dx/dt)²
Et hors frottement, Eméca = cste ---> sa dérivée par rapport au temps est nulle.
d Eméca/dt = 2mgk(x-xo).dx/dt + m.(dx/dt).d²x/dt² = 0
et comme la viitesse (dx/dt) n'est pas identiquement nulle --->
2mgk(x-xo) + m.d²x/dt² = 0
d²x/dt² + 2gk(x-xo) = 0 ... qui est bien l'équation pour un oscillateur harmonique.
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Mais je ne sais pas si c'était le style de réponse attendue.
Rien relu.
Merci pour votre réponse, oui en effet j'ai oublié un carré (erreur d'étourderie). J'avais oubliés de vous dire qu'on étudie un mouvement à un degrés de liberté, le point matériel M n'est repéré que par le paramètre x. Je ne comprends pas dans votre explication pourquoi vous utilisez Ep=mgy (pour ensuite l'appliqué dans la formule de l'énergie mécanique) au lieu de gardé EpEp(x0)+ ((x-x0)²/2)E''p(x0) car du coup vous n'utilisez le fait que E''p(x0)0, condition de laquelle on est partie pour conclure que les petites oscillations autour de x0 sont celles d'un oscillateur harmonique. Moi je pensais faire exactement comme vous avez fait mais avec EpEp(x0)+ ((x-x0)²/2)E''p(x0), est-ce que sa serait bon? Encore merci, bonne journée .
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