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Optique: Mesure distance focale lentille convergente

Posté par
Emel-ii-nee 15-05-10 à 18:09

Bonjour à tous!
Je bloque un peu avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide et de petit conseil pour résoudre cet exercice..


Soit une lentille convergente L, de centre optique O et de distance focale f'. L'axe otpique de la lentille est noté X'OX. On considère un objet AB placé dans un plan frontal d'abscisse x (x<0), A se trouvant sur l'axe optique. Soit A'B' son image d'abscisse x'. La position de l'objet est choisie pour qu'il soit possible d'observer son image sur un écran.
Soit D la distance entre l'objet et l'écran, c'est à dire la distance AA'. D est une grandeur positive.

1°) Montrer que D = x' - x. Rappeler la formule de conjugaison d'une lentille.
Je ne vois pas comment faire pout la démonstration! On sait que D = AA' mais comment arriver à x' - x ? Pour la formule de conjugaison d'une lentille, c'est 1/(OA') - 1/(OA) = 1/f'
2°) Ecrire l'équation du second degré permettant de calculer x' en fonction de D et f' Là encore une fois, je ne vois pas du tout..
3°) a) Résoudre cette équation: montrer qu'elle n'admet de solutions que si D > ou = 4 f'. Donner alors les deux solutions de l'équation x'1 et x'2 Cela ne me semble pas difficile, mais n'aillant pas trouvée l'équation de la question précédente, c'est assez difficile à résoudre du coup..
b) En déduire qu'il existe deux positions de la lentille permettant d'obtenir l'image A'B' de AB sur l'écran.
4°) Calculer la distance d entre ces deux positions, et en déduire la formule de Bessel : f' = (D² - d²) / 4D
5°) Conclure en proposant un protocole expérimental permettant de mesurer la distance focale d'une lentille convergente (méthode dite de Bessel)
6°) Lors d'une expérience, on a mesuré D = 80,0 cm d = 32,5 cm. Calculer f'

J'attend vos réponse, afin de m'éclaircir un peu sur l'exercice, sans bien sûr le faire à ma place! Je voudrais avant tout comprendre..
Merci d'avance, Emeline.

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 15-05-10 à 19:25

Bonsoir,
D\,=\,\bar{AA^'}\,=\,\bar{AO}\,+\,\bar{OA^'}
D\,=\,-\,\bar{OA}\,+\,\bar{OA^'}
D\,=\,x^'\,-\,x

Posté par
Emel-ii-neere : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 15-05-10 à 23:16

Donc ...
1°) Ainsi, la formule de conjugaison d'une lentille est 1/x' - 1/x = 1/f'

Mais pour la question 2°), je bloque encore..
Grâce à la formule de conjugaison on sait que x = D - x'
Mais je bloque ici ...

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 17:36

3$\frac{1}{x^'}\,-\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{f^'}
On sait que :
3$\frac{1}{x^'}\,-\,\frac{1}{D-x^'}\,=\,\frac{1}{f^'}
Réduction au même dénominateur :
3$\frac{D-x^'}{x^'(D-x^')}\,-\,\frac{x^'}{x^'(D-x^')}\,=\,\frac{1}{f^'}
3$\frac{D-2x^'}{x^'(D-x^')}\,=\,\frac{1}{f^'}
3$f^'(D-2x^')\,=\,x^'(D-x^')
3$f^'D\,-\,2f^'x^'\,=\,Dx^'\,-\,x^{'2}
3$x^{'2}\,-\,(D+2f^')x^'\,+\,Df^'\,=\,0

Posté par
Emel-ii-neere : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 20:03

Merci beaucoup!

Pour la 3°) on calcul le discriminant.
D'où Delta = b² - 4ac
Soit ici ; Delta = (D+2f')² - 4*1*Df' = D² + 4Df' + f'² - 4Df' = D² + f²
? ... Mais Je suis bloquée là..

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 20:46

Désolé, je me suis trompé... D = x' - x ==> x = x' - D  pas D - x'
3$\frac{1}{x^%27}\,-\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{1}{f^%27}
On sait que :
3$\frac{1}{x^'}\,-\,\frac{1}{x^'-D}\,=\,\frac{1}{f^'}
Réduction au même dénominateur :
3$\frac{x^'-D}{x^'(x^'-D)}\,-\,\frac{x^'}{x^'(x^'-D)}\,=\,\frac{1}{f^'}
3$\frac{-D}{x^'(x^'-D)}\,=\,\frac{1}{f^'}
3$f^'(-D)\,=\,x^'(x^'-D)
3$-Df^'\,=\,x^{'2}\,-\,Dx^'
3$x^{'2}\,-\,Dx^'\,+\,Df^'\,=\,0

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 20:53

\Delta\,=\,D^2\,-\,4Df^'
\Delta\,=\,D(D\,-\,4f^')
D 0 ==> 0 si D-4f' 0 ==> D 4f'
3$x^'_1\,=\,\frac{D\,-\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}\,=\,\frac{D\,-\,D\sqrt{D\,-\,4f^'\,}}{2}

3$x^'_2\,=\,\frac{D\,+\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}\,=\,\frac{D\,+\,D\sqrt{D\,-\,4f^'\,}}{2}

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 21:00

Pour la 3b
|x'| est la distance entre l'écran et la lentille .
Si l'écran et l'objet sont fixes (D est constante), on a donc 2 distances |x'1| et |x'2| entre l'écran et la lentille qui permettent d'avoir une image nette.

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 21:16

Non !...
3$x^'_1\,=\,\frac{D\,-\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}
3$x^'_2\,=\,\frac{D\,+\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}
Pour la 4
3$d\,=\,x^'_2\,-\,x^'_1\,=\,\frac{D\,+\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}\,-\,\frac{D\,-\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}}{2}
3$d\,=\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}
3$d\,=\,\sqrt{D^2\,-\,4Df^'\,}
3$d^2\,=\,D^2\,-\,4Df^'\,
3$4Df^'\,=\,D^2\,-\,d^2
3$f^'\,=\,\frac{D^2\,-\,d^2}{4D}

Posté par
Emel-ii-neere : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 21:53

Merci BEAUCOUP !

J'aurais, pour finir, besoin de votre aide pour la 5°)

Ensuite, la 6°) est très simple, il suffit juste d'utiliser la formule que l'on vient de démontrer.

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 22:22

Pour la 5
Il suffit de positionner l'objet et l'écran à une certaine distance D (arbitraire parce qu'on ne connaît pas f' et on doit avoir D > 4f'). On cherche deux positions de la lentille pour avoir une image nette. Si  on ne les trouve pas, on augmente la distance et on recommence.
On mesure la distance d entre les deux positions et la distance D entre l'objet et l'écran. On applique la formule.

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 16-05-10 à 22:23

Pour la 6, je te laisse faire le calcul ...

Posté par
Emel-ii-neere : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 17-05-10 à 23:58

Ainsi, si je ne me trompe pas pour la 6°) en utilisant la formule démontrée dans la 4°), on trouve f' = 16,7 cm ?

Posté par
Marc35re : Optique: Mesure distance focale lentille convergente 18-05-10 à 08:53

Exact (puisqu'il y a 3 chiffres significatifs)...


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