Bonsoir Thomas,

en effet il y a du boulot, et tu as raison de commencer tes revisions maintenant ! Bon. ne te fache pas et reprenons ton message point par point :

1 - d'abord ne te soucie pas de savoir ce que font les electrons : l'electrocinetique du prg de terminale est faite a l'echelle macroscopique (cad echelle humaine), et les parametres qui interviennent (courants et tensions) sont eux aussi adaptes a cette echelle. Le mouvement d'un electron n'a vraiment aucun interet pour le moment (si tu reussis ton bac, ce que je te souhaite, et si tu poursuis tes etudes, tu feras de l'electrocinetique a l'echelle nanoscopique, et la tu auras des raisons valables de t'inquieter du sort des electrons).

2 - Ensuite, je crois comprendre que tu t'interesses a l'evolution temporelle de la tension aux bornes d'un condensateur soumis a une variation de tension du generateur qui alimente le circuit. Alors retiens bien ceci :

a) La tension aux bornes du condensateur (mais pas seulement elle, toutes les autres - aux bornes des resistances du circuit ou autre - ainsi que les courants qui passent dans les differentes branches de ce circuit) va s'ecrire comme la somme de deux termes : v_C(t) = v_T(t) + v_P(t), relation dans laquelle v_T(t) caracterise le regime transitoire auquel chaque element du circuit est soumis, et qui est toujours ecrit avec une exponentielle qui decroit avec le temps (donc de la forme exp(-t/), et v_P ce qui reste lorsqu le regime transitoire v_T(t) a disparu, qu'on appelle pour cela "regime permanent".

b) le regime transitoire est impose par le circuit electrique auquel on a soustrait le generateur (ca veut dire que la constante ne depend que des composants du circuit, C, R, R'... et bien sur de la facons dont ils sont relies), mais pas du tout du generateur qui l'alimente.

c) Le regime permanent, en revanche, est impose par le generateur : ca veut dire que si le generateur est une fem constante (echelon de tension), toutes les fonctions du temps (courants ou tensions) qui caracterisent l'etat electrique du circuit vont tendre vers des constantes : si le generateur est une rampe lineaire (tension qui augmente lineairement avec t, toutes ces fonctions du temps suivront elles aussi des lois lineaires. Et si le generateur devient sinusoidal, toutes ces grandeurs, une fois le regime transitoire disparu, deviendront sinusoidales.

Je n'ai pas le temps maintenant de te donner des arguments a ces affirmations, on verra ca plutot demain (ou dimanche).

Maintenant, comme je sens que tu as d'autres questions a poser, continue a envoyer des messages, et eventuellement propose-moi un circuit a mettre en equation : tu verras que ce n'est pas si complique que ca.

A bientot,  prebebo.

Merci beaucoup ! Je vais tenter de continuer de travailler ça, et de revenir poser mes autres question un peu après ! Mais en attendant merci beaucoup !

OK, on fait comme ca. Je vais couper le contact un peu avant minuit, donc d'ici la tu as le temps de poser d'autres questions. Sinon je reprends l'antenne demain vers 13 heures pour la garder jusque tres tard. Et dimanche, pareil. Donc en 1 week-end, on a le temps de tordre le coup au probleme.

A propos, est-ce que en terminale on voit les relations i = C.dv/dt, qui donne l'intensite du courant traversant un condensateur quand la tension v a ses bornes varie, ainsi que u = L.di/dt, qui donne la tension qui apparait aux bornes d'une bobine d'inductance L lorsque le courant i qui passe dedans varie ? Si oui, on va gagner du temps. Si non, envoie-moi un exercice dans lequel il y a une bobine, ainsi que son corrige succinct : je verrai comment en terminale on s'y prend pour expliquer tout ca. Je ne peux pas le savoir, car je suis un prof de fac.. ben oui, personne n'est parfait !

A bientot,  BB.

Oui on voit cette relation.. elle est même fondamentale ! Mais en fait là ou je reste bloqué, c'est dans la représentation de l'oscillogramme, pour comprendre l'évolution de chaque paramètre pour le condensateur d'une part, et pour la bobine d'une autre .. Là je viens de balayer mon cours, avec tous les éléments importants et je pense avoir pu reconstituer l'évolution du système pour la bobine, pourriez vous me corriger ?

Désolé pour l'impropreté du schéma .. j'ai fait ce que j'ai pu :/

Rassure-toi, c'est pas si mal. Je devine qu'on a affaire a un circuit comportant (dans cet ordre) un generateur de fem E constante, un interrupteur qui relie ou isole ce generateur du circuit, puis le circuit lui-meme constitue d'une resistance R et de la bobine d'inductance L, la sortie de la bobine retournant dans le pole - du generateur. Les courbes noires representent l'evolution du courant passant dans le circuit lorsque l'on ferme puis rouvre l'interrupteur, et les deux courbes vertes la tension aux bornes de L dans ces deux cas. Est-ce OK ? Alors on va travailler avec ca, mais demain car il est minuit maintenant. Demain je t'expliquerai une methode pour prevoir comment on trouve l'etat electrique du circuit a l'instant initial (juste apres la fermeture de l'interrupteur) puis apres un temps suffisamment long pour que le regime transitoire ait eu le temps de disparaitre. Pas d'inquietude, c'est facile !

A demain,  prbebo.

Eu en fait, ça représente le générateur à échelon de tension .. et non pas ouverture puis fermeture de l'interrupteur.. En soit à revient au même je pense. Merci de prendre le temps de vouloir m'expliquer c'est vraiment très généreux, et j'en suis très reconnaissant ! à demain !

Merci merci, Thomas.

Bonjour Thomas,

je ne t'ai pas oublie, rassure-toi ! Mais il y a un "coup de feu" en ce moment : je suis 4 eleves en meme temps et je jongle de l'un a l'autre, avec un seul clavier...

Bon, pour le generateur on est d'accord : c'est la meme chose, car un echelon de tension est une fem appliquee brutalement a un circuit, et en pratique on le realise avec un gene et un interrupteur que l'on ferme.

Pour bien commencer, un peu de mathematiques :

1 - Equation differentielle du premier ordre :

A la mise en equation d'un circuit electrique en regime transitoire tu tomberas fatalement sur une equation de cette forme :
a.y'(t) + b.y(t) = c, dans laquelle y(t) est la fonction du temps qu'on cherche (ca peut etre une tension entre 2 pts du circuit, un courant passant dans une branche, la charge d'un condensateur etc...), y' sa derivee par rapport au temps (on la notera plutot desormais dy/dt), a, b et c des coefficients independants du temps (plus tard tu verras que a et b dependent des composants du circuit, tandis que c est relie a la source d'energie fournie a ce circuit, donc au generateur - echelon de tension ici).

La solution de cette equation est y(t) = A.exp(-t/) + c, avec = b/a et A une constante qui peut prendre n'importe quelle valeur. Si tu ne l'as pas deja fait, calcule la derivee de cetet fonction et reporte-la dans l'equation differentielle et tu verras que cette equation est satisfaite A.
Par la suite, si on rencontre cete equa.diff dans un circuit electrique on utilisera cette solution sans demonstration supplementaire.
Peut-etre aussi, plus tard, utiliseras-tu des generateurs autres qu'en echelon de tension : en electronique on utilise frequemment des rampes lineaires, cad des fem e(t) = mt + p, m et p etant des constantes. dans ce cas, la solution de l'equa.diff prend une autre forme... on verra ca plus tard si necessaire.

2 - pb de continuite :

Soit une fonction y(t) qui passe brutalement d'une valeur y₁ a une valeur y₂ en un temps tres bref : que penses-tu de sa derivee ?

Je te laisse reflechir, je reprends l'antenne vers 16 heures.  prbebo.

Tout ce que vous m'avez cité dans le 1- a été travaillé, pour les équations diff etc.. je sais les résoudre .. enfait ce qui me bloque c'est l'aspect qualitatif et non quantitatif ..

2- La dérivée finalement n'existe pas ! car une fonction non continue en un point a n'est pas dérivable en ce point ?

Pour la derivee tu as raison, en maths on dit en effet qu'elle n'existe pas ; en fait elle existe mais prend une valeur infinie (une variation dy donnee faite en un laps de temps dt tres petit conduit a faire dans le calcul de dy/dt une division par zero, ce qui donne en nombre infiniment grand). Bon, je suis encore a l'universite en ce moment, mais avec une forte envie de rentrer chez moi. Je reprends la messagerie dans 1 heure a peu pres. Et si tu preferes l'aspect qualitatif au quantitatif, reste a l'ecoute car c'est comme ca qu'on va faire.
A tout a l'heure, BB.

Bonsoir Thomas,

bon on continue l'explication.

Un circuit en regime transitoire, aussi complique soit-il, s'etudie toujours en suivant quatre etapes :

- Etape 1 : preciser l'etat de ce circuit a l'instant initial (juste apres le branchement de la source d'alimentation,

Regarde bien le schema ci-dessous, la figure 1 represente le circuit avant qu'on ne ferme l'interrupteur.

Qulle

Un raccourci clavier intempestif a fait partir mon message trop vite. Je reprends donc :

Un circuit en regime transitoire, aussi complique soit-il, s'etudie toujours en suivant quatre etapes :

- Etape 1 : preciser l'etat de ce circuit a l'instant initial (juste apres le branchement de la source d'alimentation, cad un echelon de tension ici) ;

- Etape 2, preciser l'etat final de ce circuit,

- Etape 1 : preciser l'etat de ce circuit a l'instant initial (juste apres le branchement de la source d'alimentation, cad un echelon de tension ici) ;

- Etape 2, preciser l'etat final de ce circuit, au bout d'un temps suffisamment long pour que le regime transitoire ait eu le temps de disparaitre ;

- Etape 3, ecrire l'equation differentielle satisfaite par une fonction y(t) du circuit (y = tension, ou courant, ou charge electrique...), et resoudre cette equation.
La solution y(t) fera obligatoirement intervenir une constante arbitraire (appelee A dans mon premier message) et qu'il faudra absolument determiner. Donc :

- Etape 4, determination de A en utilisant l'etat initial du circuit etudie en 1.

Tout cela se tient, pas vrai ? Alors regarde bien le schema ci-dessous, figure 1, qui represente l'etat du circuit avant qu'on ne ferme l'interrupteur : il est clair qu'aucun courant ne passe dans ce circuit, donc dans l'inductance i = 0.
Or la tension aux bornes d'une inductance L lorsque le courant i qui y passe subit une variation est v_A - v_B = L.di/dt. Tu m'as dit connaitre dette relation, donc on n'y revient pas.
En revanche on va revenir sur la question 2 posee dans mon 1er message : une fonction y(t) discontinue en un point donne en ce point une derivee infinie (cad qui n'existe pas mathematiquememt). Appliquee a l'inductance, que penses-tu de la tension a ses  bornes si le courant i(t) qui y passe etait discontinu ? Eh oui, la tension v_A - V_B deviendrait infinie, ce qui physiquement n'aurait aucun sens.
Donc, voici une regle d'or a bien comprendre et a appliquer scrupuleusement : le courant qui traverse une bobine d'inductance L ne peut pas etre discontinu : quel que soit l'instant t auquel on l'envisage, sa valeur a l'instant t - doit etre egale a sa valeur au temps t + ( represente un laps de temps tres tres petit). OK ?
Ceci veut dire que si a l'instant t = 0 - le courant dans L est nul, a l'instant t = 0 +  il le sera aussi. On ecrira don pour l'etat initial I(0) = ).
Tu retrouveras le meme raisonnement pour un condensateur C dont la tension a ses bornes est v : lorsque la charge qu'il porte varie, le courant qui le traverse s'ecrit i = dq/dt = C.dv/dt (puisque q = cv), d'ou la meme explication : i ne peut etre infini, donc q et v doivent etre des fonctions continues du temps.

On passe maintenant a l'etude de l'etape 1 , representee sur la figure 2 :

puisque le courant i(t = 0) est nul, ca veut dire que la difference de potentiel aux bornes de R est nulle. J'ai donc omis de dessiner R, pour bien montrer que les points B et M sont au meme potentiel, qui es celui du pole - du generateur donc 0.
Nous avons donc defini l'etat initial du circuit : i(0) = 0, v(0) = v_B - v_M = 0, ce qui impose v_L (difference de potentiel aux bornes de l'inductance L) = E₀.

Passons maintenant a l'etape 2.

Dans mon premier message je t'ai dit "Le regime permanent, en revanche, est impose par le generateur : ca veut dire que si le generateur est une fem constante (echelon de tension), toutes les fonctions du temps (courants ou tensions) qui caracterisent l'etat electrique du circuit vont tendre vers des constantes". C'est le cas ici, puisque apres la fermeture de l'interrupteur la tension d'alimentation est E₀ = cste.
On en deduit ceci : l'etat final du circuit est caracterise par i(t) I = cste, v(t) V = cste, v_L(t) V_L = cste. Dans cette notation j'ecris les fonctions du temps (i, v, v_L) en lettres minuscules, et leurs limites constantes (I, V, V_L) en lettres majuscules ; notation svt utilisee en electricite).
Maintenant, reflechis bien : puisque i(t) devient constant, c'est que sa derivee di/dt tend vers zero : donc la tension aux bornes de la bobine, v_L, tend aussi vers zero. Je peux donc redessiner le circuit comme sur le schema 4, en supprimant L puisqu'elle n'introduit plus de difference de potentiel entre les points A et B. Tu vois immediatement que le courant qui traverse le circuit devient I = E₀/R, et que v(t) devient V = E₀.

On recapitule : a l'issue de l'etude de ces deux etapes, je sais, et cela sans aucun calcul, que durant le regime transitoire le courant i(t) passe de zero a E₀/R, que la tension v(t) aux bornes de R passe de 0 a E₀, et qu la tension v_L aux bornes de L passe de E₀ a zero... Est-ce difficile ?

Avant d'attaquer les etapes 3 et 4 on va marquer une courte page de publicite.

A toit a l'heure, prbebo.

bon, comme tout a l'heure mon clavier m'a trahi. Voici le schema dont je te parlais :

Woow ! Merci merci merci .. je trouve tout ça bien plus clair, mais bon, j'ai pas eu le temps de lire ça aujourd'hui, et vu l'heure, je manque un peu de concentration, je reprend tout ça sérieusement demain matin !
Merci beaucoup
Thomas

Après re-lecture j'ai une petite question concernant le post d'hier ;

Vous dites :

Bonjour Thomas,

j'ai bien dit : si l'intensite du courant passant dans L etait discontinue, on aurait une tension a ses bornes infinie. Comme ceci n'est pas possible, on en conclut que le courant passant dans L doit etre continu.
En revanche, une fonction peut etre continue sans que sa derivee le soit ! Regarde le petit schema ci-dessous :
Avant l'instant initial i(t) est constante (= 0) donc sa derivee est nulle. Juste apres cet instant, i(t) augmente, donc sa derivee est positive. La derivee de i(t) a donc bien subi une discontinuite.
Et c'est ce qui va se produire dans le circuit etudie ici : avant l'instant initial, la tension v_L aux bornes de L est nulle ; juste apres cet instant (donc a t = 0 + ), cette tension va passer brusquement de 0 a E₀. Comme v_L represente, au terme L pres, la derivee de i(t), on a bien affaire a une fonction i(t) continue mais a derivee discontinue. Est-ce compris ?

Maintenant il faut revenir sur le contenu de mon post du 30/04 a 15h30 ("un peu de mathematiques"), car il y a eux erreurs dedans :

La solution de l'equation differentielle a.y'(t) + b.y(t) = c n'est pas ce que j'ai ecrit, mais y(t) = A.exp(-t/) + c/b, avec   = a/b et non b/a (desole, c'est la memoire qui s'en va...).
J'ai oublie de te de donner une astuce, ni obligatoire ni indispensable, mais tout de meme super pratique : l'equa diff precedente, je l'ecris en divisant chaque membre par le coefficient multiplicateur de y, soit b.

L'equation s'ecrit donc (a/b).y' + y = c/b, et il est facile d'en interpreter les termes, grace aux equations aux dimensions (si tu ne sais pas ce que c'est, dis-le moi) :
- y' represente une variation de y par unite de temps, et le terme (a/b).y' doit se mesurer comme y (puisque j'en fais la somme apres) ; donc a/b se mesure comme un temps, et on peut donc poser a/b = .
- puisque le membre de gauche se mesure comme y, le membre de droite doit aussi se mesurer comme y. ca veut dire que si y est une tension en volts, c/b doit etre une tension en volts ; si y(t) est un courant en ampere, c/b doit etre aussi un courant en amperes.
On peut donc poser c/b = Y_P, ou Y_P est un terme constant ayant la meme unite de mesure que la fonction y(t).

Mon equation ainsi arrangee s'ecrit maintenant .y' + y = Y_P, et sa solution est y(t) = A.exp(-t/) + Y_P (facile a verifier).

Et c'est la qu'on voit tout l'interet de cette notation ! En effet le terme en exp(-t/) diminue au cours du temps, plus ou moins vite selon la valeur de . Ce terme represente donc la partie transitoire de la fonction y(t). Dans mon post du 29/04 22h14, je l'ai appele v_T(t) ; et le terme Y_P est ce qui reste quand le regime transitoire a disparu, c'est donc le regime permanent (v_P dans le post).

Donc si tu penses a presenter l'equation differentielle comme (a/b).y' + y = c/b, tu as d'un  seul coup les deux quantites importantes qui caracterisent la solution : la constante de temps = a/b, et le regime permanent Y_P = c/b.

On fait une petite pause, avant d'attqaquer les etapes 3 et 4.

BB.

Je n'avais pas fait attention au fait que la valeur de T apparaissait, ainsi que le régime permanent... Mais tout ça est compris ! Merci beaucoup. J'attends vos explications pour les deux dernières étapes

Bonsoir Thomas,

OK on attaque les deux dernieres etapes, ce qui va etre rapide car ce sont tous les preliminaires contenus dans mes precedents posts (30/04 a 21h55 et 01/05 a 17h32) qui prennent du temps.

Etape 3 :
On reprend donc les schemas envoyes le 30/04 et on regarde le schema 3, qui represente la situatio ndu circuit electrique a un instant quelconque apres la fermeture de l'interrupteur (mais ou le regime transitoire subsiste encore).

L'equation differentielle s'obtient quasiment toujours en appliquant la loi des mailles dans le circuit (cad en fait la loi d'Ohm) :
ici ca donne E₀ = v_A - v_M = (v_A - v_B) + (v_B - v_M), avec v_A - v_B = L.di/dt et v_B - v_M = Ri.

Je divise cette relation par R pour obtenir un coefficient multiplicateur de 1 devant la fonction i(t), ce qui donne (L/R).di/dt + i = E₀/R : tu vois tout de suite que le second membre, E₀/R, represente bien la limite prevue sans calcul par i(t) dans l'etape 2 (cf post du 30/04 a 23h11). C'est pour quoi cette etape est tres importante,  car si elle n'est pas retrouvee dans la solution de l'equation differetielle c'est qu'il y a un pb... ce n'est pas le cas ici. Autre remarque : E₀/R, quotient d'une tension par une resistance, se mesure bien comme un courant. Important aussi...

En posant L/R = et en reprenant la solution vue dans la partie math de mes messages (oublie celui du 30/04, 15h30 et reprend plutot le dernier), on obtient i(t) = A.exp(-t/) + I, avec I = E₀/R. Fin de l'etape 3...

Etape 4 :
Il ne reste plus qu'a trouver la valeur de la constante arbitraire A (en mathematiques l'equa diff sera satisfaite quelle qu3e soit la valeur de A ; mais ce n'est pas un probleme de maths, mais de physique : il n'y a qu'une seule fonction i(t) qui peut convenir.)
On ajuste donc A en etudiant les conditions initiales : au temps t = 0, i(o) doit etre nul (cf schema 2).
La solution precedente donne i(0) = A + E₀/R. Il faut donc que A = - E₀/R.
Finalement, i(t) est completement determinee et s'ecrit : i(t) = E₀/R[1 - exp(-t/)]. Son trace ne pose pas de probleme et fournit la premiere courbe noire de ton schema.
La tension v_L = v_A - v_B aux bornes de l'inductance s'obtient alors en utilisant L.di/dt. La derivee di/dt se calcule sans pb : on obtient (E₀/R).(1/).exp(-t/), soit en remplacant par L/R et en multipliant par L, v_L = E₀.exp(-t/).
Ici encore les resultats prevus dans les etapes 1 et 4 sont confirmes : v_L(0) = E₀, et v_L 0 si t .
La courbe repreentant v_L(t) est la premiere courbe verte de ton schema.

On attaque la 2ieme partie de l'exercice (que se passe-t-il si on rouvre l'interrupteur pour supprimer l'echelon de tension ?) dans le courant de la soiree.

A tout a l'heure, BB.

Tout ça m'est donc très claire, merci (encore une fois !)

Me revoici, pour traiter la question (que tu ne m'avait pas posee) de ce que va devenir le ciruit si on supprime l'echelon de tension :

Pour des raisons de commodite, on va choisir un nouvel instant initial, celui ou on supprime la tension E₀. La situation electrique du circuit du circuit juste avant qu'on ne supprime l'echelon de tension E₀ est celle du schema 4 que je t'ai deja envoye, cad : i = E/R, v_L = 0, v_B - v_M = E₀.

Et maintenant on fait E₀ = 0, d'ou l'etape 1  : le regime electrique devient alors celui du schema 1 ci-dessous : Le courant passant dans le circuit est i(0) = E₀/R (en vertu de la loi de continuite du courant passant dans une inductance).


Etape 2 : nul besoin de faire un schema : il n'y a plus de source d'energie dans le circuit, donc tous les parametres (i, v_L et v_R) vont tendre vers zero.

Etape 3 : a un instant t quelconque entre les deux situations precedentes, l'etat electrique du circuit est dessine sur le schema ci-dessous, sur lequel on applique de nouveau la loi d'Ohm pour obtenir l'equation differentielle :
L.di/dt + Ri = 0, ou encore en la presentant comme je t'ai explique, (L/R).di/dt + i = 0.

La solution est alors i(t) = A.exp(-t/).

Etape 4 : En t = 0, ce courant valait I = E₀/R, ce qui donne A = E₀/R. Donc, i(t) = (E₀/R).exp(-t/).
Le trace de ce courant correspond a la deuxieme courbe noire de ton schema.
Pour obtenir l'evolution de la tension v_L aux bornes de l'inductance, on calcule de nouveau di/dt :
di/dt = )E₀/R).(-1/).exp(-t/), soit L.di/dt = -E₀.exp(-t/). Cette tension correspond a la 2ieme courbe verte de ton schema, et elle tend vers zero par valeur negative, mais n'est-ce pas normal ? En effet, puisque i(t) diminue, sa derivee di/dt est negative...

Je vais conclure en insistant sur un point : la resolution de ce genre de probleme ne releve pas de la magie, mais du simple bon sens !  Avec l'equation differentielle et sa solution presentee comme je te l'ai montree, plus les regles de continuite de i pour une inductance, de q ou de v pour un condensateur, et en suivant les quatre etapes que je t'ai expliquees on s'en sort a tous les coups.

J'espere que tu retiendras un petit quelque chose de tout ca, en tout cas si tu as d'autres questions a pose n'hesite surtout pas.

A bientot,  BB.