Niveau terminale

Mouvement satellites a = v²/R

Posté par
Tornado 09-04-10 à 13:54

Bonjour,

Dans la fiche mouvement des satellites ici :
https://www.ilephysique.net/physique_terminale-mouvement-satellites-planetes.php

Au niveau de la démonstration de la 3ème loi de Kepler, j'aurais aimé comprendre d'où vient l'égalité (cas où le mvt est circulaire uniforme) :

a = v²/R

Peut-être est-elle à apprendre bêtement par coeur ...

Si quelqu'un peut m'éclairer, je l'en remercie.

Posté par re : Mouvement satellites a = v²/R 09-04-10 à 14:26

Bonjour,
Je peux te démontrer cette formule.
Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, en se plaçant en coordonnées polaires, on peut écrire :
x = R cost
y = R sint

étant la vitesse angulaire.
Cela te convient-il comme début ?

Posté par re : Mouvement satellites a = v²/R 16-04-10 à 17:07

Merci Marc35 pour ton aide ... et désolé de réagir si tard

J'ai compris les coordonnées polaires, mais je ne vois pas comment les exploiter ici ...

v = d(dist parcourue) / dt

la distance parcourue pendant un t est un arc de cercle

a = dv/dt

Faut-il réussir à exprimer la distance parcourue en fonction des coordonnées polaires puis dériver ?

Posté par re : Mouvement satellites a = v²/R 16-04-10 à 19:53

x = R cost
y = R sint
Les coordonnées de la vitesse sont donc :
$3$v_x\,=\,\frac{dx}{dt}\,=\,-\,R\,\omega\,sin\omega t$
$3$v_y\,=\,\frac{dy}{dt}\,=\,R\,\omega\,cos\omega t$
Les coordonnées de l'accélération sont :
$3$a_x\,=\,\frac{d^2x}{dt^2}\,=\,-\,R\,\omega^2\,cos\omega t\,=\,-\,\omega^2\,x$
$3$a_y\,=\,\frac{d^2y}{dt^2}\,=\,-\,R\,\omega^2\,sin\omega t\,=\,-\,\omega^2\,y$
On a :
$3$a\,=\,||\vec{a}||\,=\,sqrt{a_x^2\,+\,a_y^2\,}\,=\,sqrt{\,\omega^4\,x^2\,+\,\omega^4\,y^2\,}\,=\,\omega^2\,sqrt{x^2\,+\,y^2\,}\,=\,\omega^2\,R$
Et :
$3$v^2\,=\,v_x^2\,+\,v_y^2\,=\,R^2\omega^2 sin^2\omega t\,+\,R^2\omega^2 cos^2\omega t\,=\,\omega^2\,R^2\,\Rightarrow\,\frac{v^2}{R}\,=\,\omega^2\,R$
D'où :
$4$a\,=\,\frac{v^2}{R}$

C'est bien ce que tu voulais savoir ?

Posté par re : Mouvement satellites a = v²/R 16-04-10 à 21:56

bonsoir Marc35,

Merci infiniment ! Je suis conscient du travail que représente l'intervention sur les forums.

Ca me chagrine d'utiliser des formules tombées du ciel.

Là c'est clair et précis

Bonne soirée et merci encore …

Posté par re : Mouvement satellites a = v²/R 17-04-10 à 11:21

Citation :
Ca me chagrine d'utiliser des formules tombées du ciel.

Je suis tout à fait d'accord... Les "formules tombées du ciel", c'est très désagréable

...

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