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mouvement du centre d'inertie d'un solide
Bonjour,
On me propose l'exercice suivant :
Un camion de mase m = 15t, initialement immobile, est mis en mouvement de translation rectiligne par un ensemble de force de somme vecteur F, constante parrallèle à la trajectoire.
On me demande d'exprimer le vecteur vitesse du camion à l'instant t en fonction de vecteur F, m et t.
D'après le téorème du centre d'inertie on a : vecteur F = m. vecteur a = m. d(vecteur v)/dt
d'ou on pourrait conclure que d(vecteur v) = (vecteur F).dt/m et que :
vecteur v = (vecteur F).t/m
Cependant l'écriture mathématique de ces équations me chagrinent un peu et en particulier le passage de dt d'un membre à l'autre et celui de d(vecteur v) à vecteur v
Est ce ces écritures sont correctes ou faut-il les présenter différemment ?
J'ai le même problème si on nous demande d'exprimer le vecteur quantité de mouvement à l'instant t en fonction de vecteur F et de t.
Merci d'avance pour toutes vos réponses.
dv(t)/dt = F/m
donc par integration on obtient v(t) = F.t/m
Il faut juste se rappeler que ton vecteur a plusieurs composante et ici sa doit etre selon un axe x donc tu as vx(t) = F.t/m
Ensuite la qte de mouvement p=m.v
donc selon l axe x tu as px = m.F.t/m = F.t
voila j espere ne pas m etre tromper... ^^
Non elle n'est pas bonne puisque tu m'as aidé à la corriger !
Pour être rigoureux Faut il écrire : vx(t) = F.t/m
ou vx(t) = (vecteur Fx).t/m
ou encore vx(t) = (norme de vecteur F).t/m
Merci encore.
personellement je mettrais vx(t) = (norme du vecteur F).t/m mais n oublie pas que le x est en indice!!! Maintenant il se peut que je me trompe!!!! ^^
Si tu fais ceci:
dv/dt = F/m
dv = (F/m) dt
S dv = S (F/m) dt
v(t) = (F/m).t + K
v(0) = 0 ---> K = 0
v(t) = (F/m).t
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Cela peut heurter certains mathématiciens puisque tu as considéré "dv" et "dt" comme des "entités".
C'est cependant parfaitement correct dans le cadre de l'analyse non standard qui est une théorie mathématique rigoureuse.
Les physiciens utilisent depuis longtemps cette technique, longtemps récriée par les mathématiciens.
Mais depuis les travaux du mathématicien Robinson dans les années 60 sur l'analyse non standard qui traite (entre autres) des infiniments petits, une théorie mathématique rigoureuse légitimise cette manière de procéder.
On en parle un peu ici : 
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Evidemment, dans l'exemple choisi, la résolution "classique" est tellement simple qu'il n'y a pas un gros intérêt à faire autrement, mais cela n'a cependant rien de faux.
Dans d'autres cas, la méthode simplifie bien les choses.
L'analyse non standard est cependant un gros "machin" bien difficile à digérer, et la plupart se contente de l'utiliser uniquement dans le cadre restreint qui permet la simplification des calculs dans la résolution d'équations différentielles... C'est déjà pas mal.
Pour la partie "vecteur"
Le vecteur v a la même direction et le même sens que le vecteur F et sa norme est |v| = |F|.t/m
Rebonjour, encore merci pour ces présions mais que devient alors (par curiosité) cette écriture dans le cadre de l'analyse standard svp ?
Après avoir : vecteur F = m. d(vecteur v)/dt
et ensuite : d(vecteur v) = (vecteur F).dt/m
et enfin après avoir intégré :
v(t) = (vecteur F).t/m ; est ce correct ?
Cordialement
Je ne suis pas, loin s'en faut, un théoricien en Mathématique, donc, avec mes mots et leurs imprécisions :
dv/dt signifie en analyse standard : dérivée première de v par rapport au temps, dv et dt n'ont pas de signification propre.
dv/dt, en analyse non standard, est considéré comme de rapport de 2 infiniment petits (dv et dt étant ces infiniments petits).
Il a été démontré (par Robinson et autres) que les résultats pour la résolution d'équations différentielles étaient identiques par les 2 types d'analyse ... et que de plus, la façon de faire de l'analyse non standard était aussi mathématiquement rigoureuse.
Si je regarde ton profil, j'y vois "Ecole d'ingénieur" ... et là, le but est d'abord et avant tout le "droit au but" (time is money) tant que la méthode est rigoureusement correcte.
Il n'y a donc aucune raison de se priver de la théorie de l'analyse non standard si cela peut faire gagner du temps.
Tout cela pour dire, qu'on ne peut pas "couper" dx/dt en dx et dt en analyse standard, mais rien n'empêche, dans une recherche d'efficacité d'utiliser l'analyse non standard (même si on ne l'écrit pas explicitement).
Cela peut heurter certains ... mais ce ne devrait pas être le cas dans des études d'ingénieur ...
En espérant que ce sont bien des ingénieurs qui ont connu le terrain qui donnent cours ... Mais cela est une autre histoire.
Ok mais que deviennent les vecteur en analyse standard ?
Peux t'on écrire comme plus haut :
d(vecteur v) = (vecteur F).dt/m et v(t) = (vecteur F).t/m
Encore merci pour votre dosponibilité. Bien cordialement.
Je ne suis pas un pro en analyse non standard.
comme suggéré, je ne l'utilise parfois que dans le cadre de la résolution d'équations différentielles.
Mais il ne faut pas tout mélanger.
L'emploi ou non ici de l'analyse non standard n'a rien à voir avec les vecteurs.
Une simple pré-analyse montre que le vecteur v ne peut avoir, dans le problème posé, que la même direction et de le même sens que le vecteur F.
Donc la seule "chose" encore inconnue à ce stade est d'en évaluer la norme ... Et là, plus besoin d'aucune notion vectorielle.
La mise en équation pour calculer la norme de v est celle faite dans mon message du 20-01-12 (1ere ligne)
Il n'est plus question, à ce stade, de grandeur vectorielle. les modules de v et de F sont des scalaires.
Donc la résolution que j'ai faite ne concerne que des grandeurs scalaires et aucun problème type vectoriel n'entre en jeu dans cette résolution.
Une fois le module de v trouvé et connaissant le sens et la direction du vecteur v (les mêmes que F), le vecteur v est totalement défini.
L'écriture du vecteur v qui s'en suit dépend de conventions d'écriture qui changent d'un mathématicien à l'autre ... et là je ne me mouille pas pour savoir comment écrire la relation vectorielle donnant v en fonction de F, c'est pour moi sans le moindre intérêt.
L'important étant les caractéristiques du vecteur (norme, direction et sens) ... et cela c'est connu.
Rebonjour,
C'est peut être pour vous sans intérêt, mais c'était le sujet d'un exercice de physique de baccalauréat scientifique (ex séries C et E). Donc c'était une question qui valait 2 points sur un total de 6.
Je ne trouve pas sans intérêt de perdre ces deux points.
Cordialement.
Tu n'aurais pas perdu ces 2 points en donnant les 3 caractéristiques du vecteur. (direction, sens et norme, ces 3 caractéristiques étant données en référence au vecteur F ... comme dans mes réponses.).
Et si tu les avais perdus et bien c'est que l'examinateur n'était manifestement pas à sa place.
Pour info je n'ai pas perdu ces deux points puisque c'est un exercice d'annales non corrigées que je m'entraîne à faire au sein de mon école d'ingénieur.
Donc d'après votre réponse, voici ce que je comprends :
les caractéristiques du vecteur v sont donc : vx(t) = F(x).t/m; vy=vz=0 puisque le mouvement est en translation rectiligne.
De même pour le vecteur quantité de mouvement px(t) = F(x).t py=pz pour la même raison que ci-dessus.
Désolé si vous aviez déjà répondu à votre manière.
Cordialement.
Oui pour vx(t), si l'axe Ox est dans la direction et le sens de la force F.
Mais si tu n'as pas défini explicitement l'axe Ox, tu serais,à mon sens, pénalisé.
Soit, tu definis Ox comme ci-dessus et tu écris vx(t) = ...
Ou alors tu ne définis pas de repère et tu te contentes de dire que les vecteurs F et v ont même direction et sens (en plus de la norme de v)
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Quant au vecteur quantité de mouvement, il est simplement le produit de la masse par le vecteur vitesse et donc ...
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