Niveau école ingénieur

Mouvement d'un electron

Posté par
ponnaive 18-06-13 à 22:56

Un electron de charge q et de masse m entre avec une vitesse initiale v₀_x en un point O, dans un champ magnetique uniforme B_z cree par une bobine. Dans tout l'exercice, on considerera que le poids de l'electron est negligeable par rapport aux autres forces.

1/ Ecrire la relation fondamentale de la dynamique. La projeter dans le repere (O, _x , _y , _z et expliciter d^2x/dt^2, d^2y/dt^2, d^2z/dt^2 en fonction de la vitesse et de q, B et m.

2/ En deduire la relation entre le module de l'acceleration et le module de la vitesse.

3/ Montrer que la trajectoire est situee dans un plan.

4/ Calculer la puissance de la force magnetique. En deduire le travail de cette force.

5/ A l'aide du theoreme de l'energie cinetique, que peut-on en deduire pour le module de la vitesse de l'electron?

6/ Dans la base de Frenet, calculer l'acceleration tangentielle et l'acceleration normale.

7/ En deduire le rayon de courbure de la trajectoire de l'electron. De quel type de mouvement s'agit-il.

Cette exercice est tres importante pour moi. Les examens finaux sont proches.

Posté par re : Mouvement d'un electron 19-06-13 à 10:27

Bonjour à toi aussi!

Histoire de te mettre sur la voie sans faire l'exercice à ta place:

1) et 2) l'électron est soumis à la force de Lorentz $\vec{F} = q.\vec{v} \wedge \vec{B}$

Donc $m(\frac{d^2x}{dt^2}\vec{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\vec{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\vec{k}) = q.\begin{pmatrix}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\\ \frac{dz}{dt}\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}$

3) Les conditions initiales $\vec{v}(t=0) = v_0\vec{u_x}$ te premettent de prouver la proposition

4) et 5) La puissance doit se calculer ici comme le produit scalaire: $P = \vec{F}.\vec{v}$

6) Dans un repère de Frenet l'accélération vaut $\vec{a} = \frac{v^2}{r}\vec{u_n} + \frac{dv}{dt}\vec{u_t}$

7) Du devrais pouvoir conclure sur la nature du mouvement circulaire ...

Si pas suffisant pour mener à bien la résolution, n'hésite pas!

Posté par re : Mouvement d'un electron 19-06-13 à 16:07

Merci beaucoup de m'aider!
Est-ce que tu peux me donner la solution détaillée des questions 1, 3, 5, 6? Je ne peux pas encore calculer
Merci beacucoup.

Posté par re : Mouvement d'un electron 19-06-13 à 21:31

Hum hum ...

Tentons le compromis, j'avance un peu les réponses mais les solutions détaillées restent pour toi!

1) Nous avions

$\vec{F} = q.\vec{v} \wedge \vec{B}$

$m(\frac{d^2x}{dt^2}\vec{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\vec{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\vec{k}) = q.\begin{pmatrix}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\\ \frac{dz}{dt}\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}$

Donc

$m(\frac{d^2x}{dt^2}\vec{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\vec{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\vec{k}) = qB(\frac{dy}{dt}\vec{i}+ \frac{dx}{dt}\vec{j})$

3) De ci dessus nous avons $\frac{d^2z}{dt^2} = 0$
Donc
$\frac{dz}{dt} = Cste$
Or $\vec{v}_0 = v_0\vec{i}$
Donc

$\frac{dz}{dt} = 0$ , soit $z = cste$

Je te laisse développer et donner les résultats du 4) et du 5) nous aurons alors les bases pour résoudre la suite...