Attention, ta relation n'est juste que si la boule est pleine et homogène et que le moment d'inertie est par rapport à un axe correspondant à un diamètre de la boule.

Soit l'origine O du repère au centre de la boule :

Soit l'élément de volume dV de masse élémentaire dm de la sphère compris entre les cylindres de rayons z et z+dz et limité par la sphère.

dV = Pi.((z+dz)²-z²)*V(x²+y²)

dV = Pi.((z+dz)²-z²)*V(R²-z²)
dV = Pi.(z²+(dz)² + 2z.dz-z²)*V(R²-z²)
dV = Pi.((dz)² + 2z.dz)*V(R²-z²)

(dz)² est un infiniment petit du second ordre et donc:

dV = 2.Pi.z.V(R²-z²) dz

dm = Rho.dV = 2.Pi.Rho.z.V(R²-z²) dz

J = S(de -R à R) 2.Pi.Rho.z.V(R²-z²) dz * z²

J = 4.Pi.Rho S(de 0 à R) .z³.V(R²-z²) dz

avec m = (4/3).Pi.R³.Rho -->

J = (3m/R³) . S(de 0 à R) .z³.V(R²-z²) dz
---
S z³.V(R²-z²) dz
Poser z = R.cos(t)
dz = -R.sin(t) dt

S z³.V(R²-z²) dz  = S R³. cos³(t).R.sin(t)*(-R).sin(t) dt
= -R^5 . S cos³(t)sin²(t) dt

poser sin(t) = u
cos(t) dt = du

S z³.V(R²-z²) dz  = -R^5. S (1-u²).u² du = -R^5 . (u³/3 - u^5/5)

z = 0 --> t = Pi/2 --> u = 1
z = R --> t = 0 --> u = 0

S(de 0 à R) z³.V(R²-z²) dz = -R^5 . [u³/3 - u^5/5] (de 1à0)
S(de 0 à R) z³.V(R²-z²) dz = -R^5*(-1/3 + 1/5) = (2/15).R^5
---

J = (3m/R³) * (2/15).R^5
J = (2/5).m.R²
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Sauf distraction ou erreur.  

bonsoir,
pensez vous que ce soit du niveau première ceci?!

parce que là je ne vois vrmt plus rien ...

merci de m'eclaircir ..