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Moment d'inertie

Posté par
hdiallo 19-03-24 à 12:47

Bonjour, aidez-moi svp
Problème : Trois tiges identiques de masses m et de longueur l sont coudées de manière à former un triangle équilatéral. Calculer le moment d'inertie du triangle :
a) par rapport à un axe passant par un sommet et perpendiculaire au plan du triangle ;
b) par rapport à un axe perpendiculaire au plan du triangle et passant par le milieu d'un côté ;
c) par rapport à un axe perpendiculaire au plan du triangle et passant par son centre de gravité.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 19-03-24 à 13:37

Bonjour
Tu peux commencer par faire un schéma soigné et bien annoté.
Ensuite : que proposes-tu comme solution ?
Tu connais le théorème de Huygens j'imagine.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 19-03-24 à 14:37

Pour harmoniser les notations, voici un début de figure que tu peux compléter si nécessaire.

Moment d\'inertie

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 19-03-24 à 15:31

D'accord.
J'avais déjà proposé ces schémas.Moment d\'inertie
Je vais adopter ces notations ci-dessous :
• AB est la tige 1 de moment d'inertie J1 ;
• BC est la tige 2 de moment d'inertie J2 ;
• AC est la tige 3 de moment d'inertie J3.

Question a) : (Voir fig)
Le moment d'inertie du triangle est :
J = J1 + J2 + J3

• J1 = (1/12)ml² + m(l/2)² J1 = ⅓.ml²
• de même J3 = ⅓.ml²
• J2 = (1/12)ml² + md² ; où d est la distance entre les deux axes (Voir figure)
Pour trouver d, J'applique la propriété de Pythagore : d = l² - l²/4 = ¾l²
Donc J2 = ⅚ml²

Ainsi J = ⅓ml² + ⅚ml² + ⅓ml²

Soit J = (3/2)ml²

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 19-03-24 à 15:35

Une petite erreur ! J'ai oublié de mettre le carré sur d :
d² = l² - l²/4
Le  reste est bon.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 19-03-24 à 16:23

Citation :
Une petite erreur ! J'ai oublié de mettre le carré sur d :
d² = l² - l²/4
Le  reste est bon.

C'est bien cela !
Reste donc à modifier l'expression de J2 et celle de JA en conséquence.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 19-03-24 à 18:46

Citation :
Soit JA = (3/2)ml²

Exact. L'erreur sur "d2"  n'était finalement qu'un oubli d'écriture de l'exposant.

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 20-03-24 à 01:35

Question b)
Ici encore nous avons : JG = J1 + J2 + J3
avec J1 = J2 = J3

J1 = (1/12)ml² + md'² ; avec d' la distance entre le centre d'inertie G du triangle et le milieu de [AB].
Cette distance d' est la moitié de la distance d de la question a) : d' = d/2 = (3/8)l²

Alors J1 = (1/12)ml² + (3/8)ml² = (11/24)ml²

D'où JG = 3J1 JG = (11/8)ml²

Je doute beaucoup de ce résultat.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 20-03-24 à 13:03

Le cas b) de ta figure est le cas c) de l'énoncé tel que tu l'as recopié.
Sinon : que vaut exactement en fonction de l la hauteur d du triangle ?
La distance de G au milieu d'un côté représente le tiers de cette hauteur.

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 20-03-24 à 21:07

Citation :
Le cas b) de ta figure est le cas c) de l'énoncé tel que tu l'as recopié.

Oui ! C'est moi qui suis trompé de schéma.

Citation :
Sinon : que vaut exactement en fonction de l la hauteur d du triangle ?

La hauteur d est : d² = ¾l² d = (l/2)3

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 20-03-24 à 21:23

OK. Donc la suite ?

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 21-03-24 à 07:59

Donc J1 = (1/12)ml² + (1/12)ml² = (1/6)ml²
Or J1 = J2 = J3 au centre de gravité du triangle.
D'où JG = ½ml²

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 21-03-24 à 11:40

OK !

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 02-04-24 à 08:11

Merci bien
Maintenant la question b) qui correspond à la figure c).
La distance de a à la l'axe est l/2

Donc J = (1/12).ml² + 2ml²/4

Soit J = (7/12)ml²

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 02-04-24 à 09:49

D'accord !

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 03-04-24 à 13:03

Mais cela ne correspond pas à la réponse finale fournie par le document.
J'ai essayé plusieurs fois, je trouve toujours la même chose.

Posté par
vanoisere : Moment d'inertie 03-04-24 à 14:09

Il y a bien une étourderie, de calcul ou seulement de frappe, dans un de tes messages. Je reprends rapidement les trois questions dans l'ordre de ton énoncé et en utilisant les lettres de la figure que j'ai fournie le 18/03 à 14h37. Tous les axes de rotations sont perpendiculaires au plan du triangle.

a) Moment d'inertie par rapport à un axe passant par un sommet :

J_{\Delta A}=J_{\Delta A(AB)}+J_{\Delta A(AC)}+J_{\Delta A(BC)} \\ \\ J_{\Delta A(AB)}=J_{\Delta A(AC)}=\frac{m.l^{2}}{12}+\frac{m.l^{2}}{4}=\frac{m.l^{2}}{3} \\ \\ J_{\Delta A(BC)}=\frac{m.l^{2}}{12}+m.(AH)^{2}=\frac{m.l^{2}}{12}+m.\frac{3l^{2}}{4}=\frac{5m.l^{2}}{6} \\ \\ J_{\Delta A}=\frac{2m.l^{2}}{3}+\frac{5m.l^{2}}{6}=\frac{3m.l^{2}}{2}

Nous étions déjà d'accord là-dessus.

b) Moment d'inertie par rapport à un axe passant par le milieu d'un côté (M par exemple) :

J_{\Delta M}=J_{\Delta M(AB)}+J_{\Delta M(AC)}+J_{\Delta M(BC)} \\ \\ J_{\Delta M(AB)}=\frac{m.l^{2}}{12} \\ \\ J_{\Delta M(AC)}=J_{\Delta M(BC)}=\frac{m.l^{2}}{12}+m.(MK)^{2}=\frac{m.l^{2}}{12}+m.\frac{l^{2}}{4}=\frac{m.l^{2}}{3} \\ \\ J_{\Delta M}=\frac{m.l^{2}}{12}+\frac{2m.l^{2}}{3}=\frac{3m.l^{2}}{4} \\
Il y a une erreur dans ton message du 2 /4 à 8h11 : le carré de (l/2) n'est pas 2l2/4 ! Etourderie...

c) Moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité :

J_{\Delta G}=J_{\Delta G(AB)}+J_{\Delta G(AC)}+J_{\Delta G(BC)} \\ \\ J_{\Delta G(AB)}=J_{\Delta G(AC)}=J_{\Delta G(BC)}=\frac{m.l^{2}}{12}+m.\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{l.\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{m.l^{2}}{6} \\ \\ J_{\Delta G}=\frac{3m.l^{2}}{6}=\frac{m.l^{2}}{2}

Là aussi, nous étions d'accord...

Posté par
hdiallore : Moment d'inertie 03-04-24 à 17:28

OK je vois !
Une nième étourderie de ma part. Je dois encore travailler sur cette partie.
Merci bien vanoise
A toute l'équipe, je vous dis MERCI !


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