Niveau école ingénieur

Moment d'inertie

Posté par
silverstar 17-01-13 à 21:23

Bonjour a tous,

J'ai actuellement un petit probleme avec un calcul de moment d'intertie. Voici l'enonce :
" On modelise une machine tournante par une plaque carree homogene ABEF, de centre C, de cote b, de masse m, soudee perpendiculairement a un axe horizontal (CH) de longueur a, dont la masse sera negligee. L'ensemble constitue un solide S indeformable. Ce solide S est relie en H a un axe de rotation Oz par une liaison adequate. "

On me demande alors : Montrer que le moment d'inertie de la plaque ABEF par rapport a l'axe Oz est egal a
J_z=m(a²+b²/12)

Donc la correction, on me dit que dJ_z = (m/b²)r²dYdz (Y etant la coordonne sur l'axe u2)

Je vous envoie la figure egalement.

$Moment d\'inertie$

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 09:51

bonjour,

tu considères un élément infinitésimal de la plaque situé en (Y,z) de surface dYdz et de masse dYdz (plaque homogène)

dJz = r² dm r étant la distance entre le point (Y,z) et l'axe Oz

d'où dJz = r² dYdz

or m = b²

donc dJz = m/b² r² dYdz

ensuite il faut exprimer r en fct de a et Y puis intégrer sur le domaine (càd la plaque carrée)

Jz = _carré dJz

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 10:04

Oui je viens de comprendre cela, merci beaucoup !

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 10:46

$Moment d\'inertie$

L'élement de plaque (en rose sur le dessin) a une masse élémentaire : dm = m * dw/b (avec m la masse de la plaque)

La distance de cet élement de plaque par rapport à l'axe des z est L, tel que L² = a² + w²

On a donc :

$J_z = \int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}} (a^2+w^2).\frac{m}{b}\ dw$

$J_z = \frac{m}{b}. [a^2.w+\frac{w^3}{3}]_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

$J_z = \frac{m}{b}. 2.[a^2.\frac{b}{2}+\frac{b^3}{24}]$

$J_z = m.(a^2 +\frac{b^2}{12})$

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 10:51

Merci J-P pour ta reponse mais d'ou sors tu le dm = m*dw/b ? S'agit de la densite surfacique ?

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 11:00

C'est immédiat.

Le rectangle rose a une aire dS = b.dw (hauteur = b et largeur = dw)

La plaque complète a une aire = b² et une masse m

---> la masse (dm) du rectangle rose = masse de la plaque * (aire rose / aire de la plaque)

dm = m * (b.dw / b²)

dm = (m/b). dw

Posté par re : Moment d'inertie 18-01-13 à 11:09

Ah oui, un produit en croix. Merci bien.

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