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Méthode d'Euler, équation différentielle et pollution
Bonjour, j'ai un DM corsé de Physique-Chimie à faire pour la semaine prochaine et je souhaiterais de l'aide.
Voici la partie chimie où je n'arrive pas du tout (les deux premières parties ont été faites en classe) :
On applique la méthode d'Euler à la pollution d'un réservoir de volume constant V contenant initialement de l'eau "pure". Il reçoit une eau polluée à la concentration C(0) et évacue, au même débit d, une eau "mélangée".
Ne vous souciez pas de la longueur du sujet car, comme déjà dit, plus de la moitié a déjà été fait en classe. Il y a au final 6 questions (histoire de rassurer).
I.Mise en équation
On appelle n(t), la quantité de matière polluante à l'instant t dans le réservoir et C(t), la concentration correspondante.
a)Exprimer la quantité de matière ne qui entre dans le réservoir pendant l'instant dt, en fonction de C(0) et d.
n(t) = C(t) X V
ne = d X dt X C(0)
b)Exprimer, pendant le même intervalle de temps dt, la quantité de matière ns qui s'échappe du réservoir, en fonction de n(t), V, d et dt.
ns = d X dt X C(t)
= (d X dt X n(t)) / V
c)En déduire la variation de quantité de matière entre les instants t et t+dt : n(t+dt)-n(t).
n(t+dt) - n(t) = ne - ns = d X dt (C(0) - C(t))
(n(t+dt) - n(t)) / dt = d(C(0) - C(t))
d)En déduire l'équation différentielle vérifiée par n(t). Indiquer la condition initiale.
dn / dt = d(C(0) - n(t)/V)
dn/dt + d/V (n(t)) = d.C(0)
Condition initiale : n(0) = 0 ou C(0) = 0.
e)Quelle est la solution analytique de cette équation différentielle ?
n(t) = A + B.e(αt)
II.Calculs
En vue d'une réalisation expérimentale, on fixe les valeurs suivantes :
C(0) = 10^-2 mol/L (eau salée), V = 100mL et d = 0,8 mL/s.
Calculer, à l'aide d'un tableur, les valeurs successives de n(t) en utilisant la méthode d'Euler.
(n(t+dt) - n(t)) / dt = d.C(0) - d/V (n(t))
n(t+dt) - n(t) = (dC(0) - d/V n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + (d.C(0) - d/V n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + (10^-2 X 8.10^-4 - 8.10^-3 X n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + 8.10^-6 (1 - 10^3 X n(t)).dt
condition initiale : n(0) = 0
III. Cas de la dépollution d'un réservoir
Le réservoir pollué à la concentration C(0), reçoit de l'eau "pure".
Reprendre le même calcul que précédemment.
1)Expliciter l'équation différentielle vérifiée par n(t)?
2)Quelle est la condition initiale vérifiée par n(t) ?
3)On pose : τ = V/d , montrer que τ a la dimension d'un temps.
4)Donner la solution de l'équation différentielle vérifiée par n(t) puis en déduire l'expression de C(t).
On expérimente le procédé de dépollution, en mesurant la conductivité d'une solution d'eau salée. Le volume du réservoir est V = 118mL. Le tableau suivant donne la concentration C(t) au cours du temps :
t(s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160
C(t) 10 8.57 7.62 6.75 5.73 5.09 4.5 3.79 3.36
t(s) 180 200 220 240 260 280 300 320 340
C(t) 2.99 2.55 2.26 1.99 1.68 1.5 1.3 1.12 0.97
t(s) 360
C(t) 0.87
C(t) en mmol/L
5)Exploiter ces données pour déterminer la concentration initiale de la solution d'eau salée et le débit d, en décrivant la méthode et les outils utilisés.
6)Au bout de combien de temps la concentration atteint-elle un centième de la valeur initiale ?
Merci d'avance pour votre aide car j'ai vraiment beaucoup de mal avec les équations différentielles ...
S'il vous plaît, aidez-moi. Je serai débloquée une fois cette équation différentielle trouvée. Mais je n'y arrive vraiment pas...
Quelqu'un peut-il m'aider sur cette île ???
s'il vous plaît !
je vais finir par me mettre à pleurer ! !
bonjour,
III 1)
dans l'exercice I,il rentre une qté de matière ne à chaque intervalle de temps dt.
dans l'exercice III,on fait rentrer de l'eau pure ,donc ne=0 puisque la concentration du liquide entrant (eau pure ) est nulle.
Tu reprends l'expression c) avec ne = 0
à t=0 n(o)=Co/V
Je te conseille d'écrire D pour le débit ,car d prête à confusion avec dn et dt
d'autres peuvent donner leur avis!
Bonjour, tout d'abord, merci de vous intéresser à mon sujet.
ne = 0
ns = D * dt * C(t)
= (D*dt*n(t)) / V
n(t+dt) - n(t) = ne - ns = (-D*dt*n(t)) / V
J'ai repris l'expression comme vous avez dit avec ne = 0.
J'ai continué le calcul, pouvez-vous vérifier ? merci d'avance
(n(t+dt)-n(t)) / dt = - (D*n(t)) / V
dn/dt = -d X n(t)/V
(dn/dt) + (d/V)n(t) = 0
Exusez-moi, je me suis aperçue que j'ai recommencé à mettre des "petits d" pour le débit.
dn/dt = - D X n(t)/V
(dn/dt) + (D/V)n(t) = 0
oui exact.
Alors la dernière ligne est mon équation différentielle. C'est bien ça ?
la condition initiale vérifiée par n(t) est toujours n(0) = 0.
Je vous propose maintenant de vérifier ma solution, si ça ne vous ennuie pas bien sûr.
n(t) = kexp(at)
dn/dt = kaexp(at)
kaexp(at) + (D/V)X kexp(at)
kexp(at) (a + D/V) = 0
or, k ne peut être égal à 0 car sinon cela voudrait dire que n(t) serait nulle tout le temps.
Et puis, une exponentielle est toujours positive.
Donc c'est forcément la parenthèse (a + D/V) qui est nulle.
a + D/V = 0
a = - D/V
n(t) = kexp((-D/V)t)
OK pour l'équation différentielle.
Cependant ,à t=O ,C=Co donc ,à t=0,n=Co*V
Co ne vaut pas 0!sinon ce serait de l'eau pure.
Dans cet exercice ,on va diluer progressivement l'eau polluée.on en déduit que k=Co*V
n(t)=Co*V*exp(-Dt/V)=C0*V*exp(-t/
)
C(t)*V=Co*V*exp(-Dt/V)=C0*V*exp(-t/)
C(t)=Co*exp(-t/)
La concentration en polluant va diminuer exponentiellement
Bonjour, excusez-moi encore de vous déranger Coriolan, mais j'avais encore une question et étant dans l'impossibilité de me connecter hier, je vous la pose aujourd'hui.
Il s'agit en fait de la question 5), je ne sais pas du tout comment procéder ...
la concentration initiale est bien C0 ?
Il faut que j'utilise les formules précédentes, c'est ça ?
Mais mon prof nous a dit qu'il fallait utiliser toutes les données du tableau ...
Merci d'avance.
avec les données du n° 4 on trace le graphique.
On obtient une exponentielle décroissante.
à t=0, Co=10 mmol/L
à partir du graphique,repérer les coordonnées d'un point quelconque de la courbe
Soit t1 et C1 ces coordonnées
à partir de l'équation C1=Co*exp(-t1/) ,calculer .En déduire D (V est connu)
autre méthode
tracer la tangente à l'origine
Elle coupe l'axe des abscisses à t=.En déduire D
autre méthode
pour t=,C=Coexp(-1)=0,37*Co
ce qui signifie que pour t=,C=37% de Co soit 3.7mmol/l
Tracer une horizontale d'ordonnée 3,7 et repérer l'abcissse du point d'intersection de cette horizontale avec la courbe .Cette abcisse vaut
appliquer "pour voir" les 3 méthodes
pour la dernière question
C(t)/Co=1/100=0,01
puisque a été déterminé précédemment,déduire t de l'équation exp(-t/)=0,01
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