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Mecanique sphère

Posté par
laula 28-03-14 à 18:36

Bonsoir

J'ai un exercice à faire et je nage un peu (beaucoup). Si quelqu'un serait prêt à me donner un coup de main ça serait avec plaisir!

Un point matériel de masse m est placé au sommet A (axe y) d'une sphère immobile et sans frottement de rayon b. On déplace légèrement le point matériel de sorte qu'il glisse (sans rouler) le long de la sphère.

Quelle est sa position lorsqu'il quitte la sphère?
Quelle est sa vitesse en ce point?

L'objet descend d'un angle teta.
Les forces exercées sur lui sont le poids vect P et vect N (dans la continuité du rayon)
Ox est à l'horizontal et Oy à la vertical. Donc le vecteur k vient vers nous (règle de la main droite).

A présent je ne sais pas comment continuer ou plutôt commencer.

Merci de votre aide!

Posté par
LeDinore : Mecanique sphère 28-03-14 à 23:29

(PFD):  \boxed {  m\vec a = \vec N + m\vec g  }

\vec N = N\vec{u_r}

\vec g = -mg\cos\theta \vec{u_r} -mg\sin\theta \vec{u_\theta}

\vec{OM} = r\vec{u_r}  \implies \vec{v} = r\dot\theta\vec{u_\theta}  \implies \boxed {  \vec{a} = r\ddot\theta\vec{u_\theta} - r\dot\theta^2\vec{u_r}  }

Dans la base polaire, on obtient donc 2 équation dont une qui donne N.
Il suffit d'écrire que N s'annule au point de "décollage"...
... et de recouper avec la conservation de l'énergie pour trouver l'angle.

Perte d'énergie potentielle :  \Delta E_p = mgr(\cos\theta-1)
Gains d'énergie cinétique :    \Delta E_c = \frac 1 2 m v^2 = \frac 1 2 m r^2 \dot\theta^2
Conservation de l'énergie mécanique (pas de frottement) :  \Delta E_m = \Delta E_p + \Delta E_c = 0

Pour vérification :  \boxed {  \theta^* = Arcos(\frac2 3)  }
La vitesse en découle...

Posté par
laulameca sphere 30-03-14 à 17:00

Merci beaucoup!

Par équations dans la base polaire vous entendez le module de v et a ?

Posté par
LeDinore : Mecanique sphère 30-03-14 à 21:02

Non.
J'entends la projection des équations sur les vecteurs de base  \vec u_r  et  \vec u_\theta
Où si tu préfères, il s'agit simplement d'écrire les égalités vectorielles sous la forme de coordonnées exprimées dans la base (\vec u_r,\vec u_\theta).

Posté par
LeDinore : Mecanique sphère 30-03-14 à 21:16

\boxed {  m\vec a = \vec N + m\vec g  }

\vec{a} = r\ddot\theta\vec{u_\theta} - r\dot\theta^2\vec{u_r}

\vec N = N\vec{u_r}

\vec g = -g\cos\theta \vec{u_r} -g\sin\theta \vec{u_\theta}  

\implies \boxed {  mr\ddot\theta\vec{u_\theta} - mr\dot\theta^2\vec{u_r} = N\vec{u_r} -mg\cos\theta \vec{u_r} -mg\sin\theta \vec{u_\theta}  }

\underline{Projection  sur  \vec{u_r} :}       N = mg\cos\theta - mr\dot\theta^2

\underline{Projection  sur  \vec{u_\theta} :}      r\ddot\theta = -g\sin\theta

Posté par
LeDinore : Mecanique sphère 30-03-14 à 21:26

\Delta E_p = mgr(\cos\theta-1)
\Delta E_c = \frac 1 2 m v^2 = \frac 1 2 m r^2 \dot\theta^2

\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0

\implies mgr(1 - \cos\theta) = \frac 1 2 m r^2 \dot\theta^2

\implies m r \dot\theta^2 = 2mg(1 - \cos\theta)

... à rapprocher du PFD projeté sur  \vec{u_r}
... pour trouver l'angle  \theta  qui annule N :

N = mg\cos\theta - mr\dot\theta^2 = mg\cos\theta - 2mg(1 - \cos\theta) = -2mg + 3mg\cos\theta = 0

...

Posté par
laulare : Mecanique sphère 30-03-14 à 21:35

Merci beaucoup! Je suis finalement arrivé au bout et je trouve le même résultat que vous

Posté par
laulare : Mecanique sphère 30-03-14 à 21:42

Avant même vos derniers postes!
Merci pour tout

Posté par
laulare : Mecanique sphère 30-03-14 à 22:08

Pour la vitesse la réponse est v = b (gcos/b) ?

Posté par
LeDinore : Mecanique sphère 31-03-14 à 12:11

En effet, au point de décollage (N=0) :

m r \dot\theta^2 = m v^2/r = mg\cos\theta  \implies \boxed{  v =\sqr{rg\cos\theta} =\sqr{2rg/3}  }


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