Bonjour à tous, et bonne année !

J'ai un DM de physique dont je suis en train de bloquer.

Un objet A de masse m peut coulisser sans frottement sur un axe horizontal (O;ex)

Il est attaché à l'extrémité d'un ressort fixé à un point fixe B. Ce ressort possède une raideur k et une longueur à vide l₀.
On note l(t) la longueur du ressort à un instant t. On pose OB =d et OA = x

1) Exprimer l'allongement du ressort en fonction de d, x, l0.

Allongement = ((d²+x²) - l₀

2) Appliquer le PFD et montrer que la variable x vérifie l'équation :
d²x/dt² * m = -k*x*[ (d²+x²) - l₀]/(d²+x²)

Réponse trouvé.

3) En déduire les différentes positions d'équilibre. On distinguera les cas : d<l₀ et d>l₀

Ici, je bloque, j'ai pensé à résoudre l'équation selon les 2 cas. si d>l₀ alors le ressort est à la verticale. Donc x=0 ?

Et l'autre cas, on obtient un <0 lors de l'équation caractéristique. Donc sol : x(t) = A *cos(t) + B sin(t)

4) Dans le cas d>l₀ et avec un point A voisin de O donc x<<d, montrer que la variable x est la solution de l'équa diff linéaire du second ordre sans amortissement. Donner l'expression de la période propre des oscillations.

exprimer x(0), d'où A = x₀
Et exprimer dx(t)/dt, d'où B = 0

Puis = (k/m) * x *[ (d²+x²) - l₀]/(d²+x²)]

5) Montrer que l'énergie potentielle du point A s'écrit : Ep(x) = k/2 * [ x² +2l₀d - 2*l₀(x²+d²)] avec Ep(0) = 0

Pas trouvé.A partir de l'expression de la force sur l'axe ex, je fais une intégration.  ep = 0.5*k*(l - l₀) où l et la longueur du ressort pas à l'état initial.

6) Donner la représentation graphique de Ep(x) dans le cas d<l₀. Déterminer les différentes positions d'équilibre et discuter de leur stabilité.

Sans réponse. Car raisonnement du 3 probablement faux.

7) Meme question pour d> l₀

8) Dans le cas d> l₀ et avec un point A voisin de O, donner l'expression simplifiée de Ep(x).

On utilisera (1+(x/d)²) = 1 + (x²/2d²)

Cette dernière question je pense pouvoir y arriver seul, je n'y ai pas encore touché ^^

Merci d'avance de votre aide !

A+
Abcgeo