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Mécanique des fluides

Posté par
Mathieu95670 24-05-16 à 21:08

Bonjour et merci a vous pour vos futurs réponse, j'ai un problème concernant l'exercice suivant :
Un corps matérialisé par le point M, est "lancer" avec une vitesse initiale v0 formant un angle \alpha avec le sol. a t=0 le corps est a l'origine du repère.
J'aimerai trouver l'équation y(x) en appliquant une force de frottement proportionelle a v, mais j'ai des petits soucis arrivés a la fin des calculs je me retrouve avec des valeur strictement négative pour x (t)  et  y (t), je me rend bien compte que sa cloche quelque part mais je ne vois pas ou. je vais vous refaire mon raisonement en accéléré :
m\begin{pmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{pmatrix}=m\begin{pmatrix}0\\-g \end{pmatrix}-\beta \begin{pmatrix} \dot{x}\\\dot{z} \end{pmatrix}
\ddot{x}=-\frac{\beta }{m} \dot{x}
\ddot{y}=-\frac{\beta }{m} \dot{y}-g
Je résouds ensuite les deux équation différentielle, je trouve les résultats :
\dot{x}(t)=(v_{x0})e^{-\frac{\beta }{m}t}
\dot{y}(t)=(v_{y0}+\frac{gm}{\beta })e^{-\frac{\beta }{m}t}-\frac{gm}{\beta }
Et la si j'intègre ses deux équations le résultat ne me plait pas ... :
x(t)=-\frac{m }{\beta}(v_{x0})e^{-\frac{\beta }{m}t}
\dot{y}(t)={-\frac{m}{\beta }}(v_{y0}+\frac{gm}{\beta })e^{-\frac{\beta }{m}t}-\frac{gm}{\beta }t
Les deux sont strictement positif alors que sur l'axe des x, le corps devrai être strictement croissant .

Merci de votre attention.


Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 24-05-16 à 21:09

a l'avant dernière ligne :
** strictement NÉGATIF

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 24-05-16 à 21:12

et la dernière ligne de calcul, c'est y pas y(point)  Désoler !

Posté par
vanoisere : Mécanique des fluides 24-05-16 à 23:02

Bonsoir
OK pour les expressions des composantes du vecteur vitesse.
Problème pour passer du vecteur vitesse au vecteur position :
à ton expression de x(t), il faut ajouter une constante d'intégration que tu détermine en posant x = 0 à t=0 ;
même méthode pour obtenir l'expression de y(t).
Tout devrait redevenir réaliste...

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 25-05-16 à 08:27

Ah oui !! Merci beaucoup Mr Vanoise.

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 25-05-16 à 15:16

Jaurais une autre question , j'essaye de démarrer le meme exercie mais avec une force de frottement proportionelle a v^2.
Mais jai un probleme je ne sais pas comment demarrer vu que le v^2 nest pas un vecteur.
Du coup jai
ma=mg-kv^2.u
avec u un vecteur unitaire diriger dans la meme direction que la vitesse.
Je narive pas a deduire la projection de u sur les axe x et y ...
Merci encore de vos reponses

Posté par
vanoisere : Mécanique des fluides 25-05-16 à 16:40

Bonjour,

Citation :
jai un probleme je ne sais pas comment demarrer vu que le v^2 nest pas un vecteur.

Tu es face à un problème classique... Le plus simple consiste à mon avis à écrire la force de frottement sous la forme :

\overrightarrow{F}=-k\cdot\Vert\overrightarrow{v}\Vert\cdot\overrightarrow{v}

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 25-05-16 à 16:55

Merci encore a toi.
je peut donc simplement ecrire :
\ddot{x}=-\frac{k}{m}\dot{x}v ??
Avec v^{2} =\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2}
Meme si en partant de la je trouve sa deja asser hard...

Posté par
vanoisere : Mécanique des fluides 25-05-16 à 17:02

Je suis effectivement étonné que l'exercice te demande d'étudier le mouvement avec une vitesse initiale de direction autre que verticale ; tu vas obtenir un système de deux équations différentielles couplées... En général, cette situation est résolue numériquement à l'aide d'un programme informatique...
Déjà, lorsque le vecteur vitesse initiale est de direction verticale, la méthode la plus rapide nécessite l'introduction d'un arc tangente hyperbolique...

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 25-05-16 à 18:01

Ahh .... bah l'exercice est imposé par moi même juste pour savoir si je sais le faire ... vu que avec les frottements proportionnelle a v sa marchait bien je pensait que j'allai pouvoir faire de même avec les frottement en v².
Mais déjà des les deux première équation je ne vois pas comment je peut m'en sortir ...

Tu as des nom de programme a me faire partager pour résoudre ce type d'équation ? (comme tu dis "couplées")

Merci encore Mr Vanoise

Posté par
vanoisere : Mécanique des fluides 25-05-16 à 19:09

Un conseil : dans le cas d'un frottement proportionnel à v2 , commence par étudier le mouvement vertical... au niveau licence, on ne te demandera pas plus.
Pour une résolution numérique, tu as dû étudier la méthode d'Euler de résolution des équations différentielles. J'en donne un exemple sur la fiche n° 9 partie IV du site suivant :

Le programme tourne à l'aide d'un simple tableur, type Excel ou LibreOffice.

Posté par
Mathieu95670re : Mécanique des fluides 25-05-16 à 20:29

J'avais deja fait la chute verticale... mais je voulais aller plus loin.
( ) (cour au top j'ai trouver)

Je ne connais pas le nom de la méthode que j'utilise.
Si j'ai une équation du type : y'=ay
y'/y=a
(ln(y))'=a
ln(y)=at+C
y=Ke^at
Âpres y'=ay² j'ai compris aussi la méthode. et pour l'instant c'est tout x(. enfin la méthode pour résoudre y"+ay'+by=K je connais. mais la démonstration (si il en existe une m'échappe)

Ta méthode pour décrire le mouvement de Soho est élégante et très simple, enfin du moins rapide même si la méthode d'intégration m'échappe un peu, le résultat est beaucoup mieux que se que j'avais "tenté" de faire.


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