Bonjour
En principe, si on néglige les frottements:
La conservation de l'énergie permet d'obtenir la vitesse angulaire en G2 en fonction de _n
La conservation du moment cinétique permet d'obtenir la vitesse angulaire en G3
La conservation de l'énergie entre G3 et G4 permet d'obtenir _n+1.
Quelque chose me gêne: apparemment il faut assimiler l'ensemble balançoire enfant à une masse ponctuelle ce qui est très grossier comme approximation.

Merci pour cette réponse vanoise

Donc il s'agit de faire une conservation de l'énergie entre G1 et G2, puis entre G3 et G4 si j'ai bien compris. Puis entre G2 et G3 et entre G4 et G5, il faut dire que la quantité de mouvement ou que le moment cinétique se conserve, c'est cela ?
Je travaille dessus et reviens à vous.

L'approximation est douteuse il est vrai.

Tu as bien saisi la méthode. Il est impératif d'appliquer la conservation de l'énergie seulement sur des intervalles de temps où l'enfant reste immobile. En effet en bougeant ses jambes il modifie l'énergie mécanique du système. Toute l'astuce est là d'ailleurs: sur un aller, l'énergie mécanique augmente de mgh entre G2 et G3 puis diminue de mgh.cos () entre  G4 et G5 soit une augmentation de mgh (1-cos ()). Cette énergie est prélevée sur l'énergie interne de l'enfant.
Sinon, le système étant mobile autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen, le moment cinétique par rapport à cet axe se conserve entre G2 et G3 d'une part, entre G4 et G5 d'autre part.

D'accord, j'ai trouvé ce qu'il me fallait, merci !