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masse et ressort
Bonjour
Voici l'énoncé d'un petit problème qui me cause quelques soucis
" On contracte d'une longueur "d" un ressort vertical de constante K, on y dépose une bille de masse m, puis on libère le ressort.
1) En supposant que la bille s'envole lorsque le ressort est à sa longueur de repos l, quelle hauteur maximale atteint la bille?
2) Lorsque la bille est à sa hauteur maximale, quelle est la longueur du ressort?
3) Montrer que si la bille s'envole, c'est nécessairement lorsque le ressort a la longueur l.
Données: l=10cm k=40 N\m m=6 g d=3 cm on prend g=10 m\s^2
(Avec une figure qui montre clairement que l est la longueur au repos du ressort à vide depuis le sol et que la distance de compression du ressort est d )"
désolé si je suis un peu lourd dans mes explications mais j'aimerais bien que quelqu'un mette le doigt là où je commence à partir aux fraises.
Pour la première question il me semble qu'on trouve facilement la réponse à l'aide de la conservation de l'énergie en utilisant la relation avec hauteur totale depuis le sol = H = h+l-d
Toujours selon le même principe la vitesse au moment où la bille quitte le ressort est
numériquement [m] et
[m\s]
Jusqu'ici tout allait très bien mais je me suis mis dans l'idée de retrouver mon résultat à partir de l'équation du mouvement et il est arrivé des choses étranges et inexplicables,
voilà ma démarche
En plaçant l'origine du repère au point d'équilibre du ressort à vide "l" selon la deuxième loi de newton on a (vers le haut) ou x décrit la distance relative à l'origine l.
Mais puisque la masse modifie le point d'équilibre du ressort on peut définir où "y" décrit la distance du nouveau point d'équilibre par rapport à l'origine l. et donc
Alors (ici j'ai un petit doute concernant les signes mais il me semble que si on considère l'axe positif vers le haut ça doit être ça) ce qui m'amène à l'équation
avec cette fois x qui désigne la distance relative au point d'équilibre du système masse+ressort (l-y).
à partir de la en plaçant l'origine du temps au moment où le ressort est relâché j'ai trouvé
mon gros souci c'est que je trouve des résultats différents entre les deux méthodes, pour illustrer à partir de l'énergie la vitesse que je trouve au point l-y est mais selon
je trouve
(exactement à mi-chemin de la vitesse trouvée plus haut en l soit
)
En plus je n'arrive pas à déterminer si et de quelle manière le ressort continue à accélérer la bille après avoir passé le point d'équilibre du système masse+ressort (l-y). Ce qui est sur c'est qu'après ce point la force de rappel n'est plus suffisante pour compenser mg mais alors le ressort continue à se détendre jusqu'à l.
Je comprend pas...
Alors si quelqu'un voit où ce situe le problème je veut bien qu'il me le dise.
merci
1)
Méthode a
(1/2).k.d² = mgH (H est la hauteur atteinte par la bille rapport à sa position sur le ressort comprimé)
H = (1/2).k.d²/(mg)
H = (1/2)*40*0,03²/(0,006*10) = 0,3 m
Et compte tenu de d = 3 cm -->
La bille monte 0,3 - 0,03 = 0,27 m plus haut que l'endroit où elle est au décollage (donc de l'extrémité supérieure du ressort non chargé).
-----
Méthode b
Energie cinétique de la bille au "décollage" = Energie dans le ressort comprimé - delta énergie potentielle de la bille pe,ndant la détente du ressort.
Energie cinétique de la bille au "décollage" = (1/2).k.d² - mgh
Energie cinétique de la bille au "décollage" = (1/2)*40*0,03² - 0,006*10*0,03 = 0,0162 J
Hauteur maximale atteinte (mesuré à parir de l'endroit où la bille décolle) : mgh = 0,0162 J
h = 0,0162/(0,006*10) = 0,27 m
La bille monte 0,27 m plus haut que l'endroit où elle est au décollage (donc de l'extrémité supérieure du ressort non chargé).
-----
Méthode c
(1/2)m.vo² = 0,0162 (caclculé comme dans la méthode b).
vo² = 2*0,0162/0,006 = 5,4
vo = 2,32379 m/s
v(t) = vo - gt (en prenant l'origine des temps au moment du "décollage" de la bille)
e(t) = vot - gt²/2
v(t) = 2,32379 - 10t
e(t) = 2,32379t - 5t²
La bille est à son altitude max lorsque v(t) = 0 --> pour t = 0,232379 s
et h = e(0,232379)
h = 2,32379*0,232379 - 5*0,232379²
h = 0,27 m
-----
Si on veut l'altitude max de la bille par rapport au sol, on ajoute la longueur à vide du ressort au 0,27 m trouvé et on arrive alors à 0,37 m.
3 méthodes de résolution --> 3 résultats identiques.
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Sauf distraction. 
Désolé mais ça ne répond pas à ma question,
pour moi il ne s'agit pas de 3 méthodes différentes mais simplement de 3 façons différentes d'utiliser la conservation de l'énergie et j'ai bien trouvé le même résultat par ce biais.
Ce que j'aimerais comprendre c'est pourquoi en passant par l'équation du mouvement le résultat diffère (sans doute que je fait un erreur quelque part mais je n'arrive pas à savoir où).
merci
Oups, je vient de me rendre compte d'une erreur de calcul, en fait l'évaluation de la vitesse au point d'équilibre masse+ressort (l-mg\k) est la même avec la conservation d'énergie
qu'avec l'équation de la vitesse en fonction du temps Donc l'équation du mouvement serait juste, mais elle ne permet pas de déterminer la vitesse au delà du point d'équilibre masse+ressort, puisque la bille n'est pas attachée au ressort. C'est bien ça?
Trop pressé de faire part de mon erreur et je dit que des bêtises, je retrouve bien la même vitesse a la longueur du ressort au repos...(mais la vitesse maximale atteinte par la bille se situe bien au point d'équilibre masse+ressort ). Donc tout semble coller avec l'équation du mouvement.
Bon tout ça ne me dit pas comment je vais répondre au questions 2) et 3)
Via l'équation du mouvement on peut répondrre à la question 3, je ne comprends pas la question 2.
Si la masse du ressort est nulle (et il semble bien que l'énoncé le suppose), une fois la bille hors contact du ressort, et par la réponse 3, le ressort reste fixe et detendu.
Avec l'axe des x vertical dirigé vers le bas :
F = mg - kx = m d²x/dt²
m d²x/dt² + kx = mg
d²x/dt² + (k/m)x = g
p² = -(k/m)
x(t) = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t) + mg/k
x(0) = d
d = B + mg/k
B = d - mg/k
(dx/dt)0 = 0 --> A = 0
x(t) = (d - mg/k).cos(V(k/m).t) + mg/k
dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m).sin(V(k/m).t)
d²x/dt² = -(d - mg/k) * (k/m).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (g - d.k/m).cos(V(k/m).t)
La bille décolle lorsque F = 0 donc pour d²x/dt² = 0, soit pour cos(V(k/m).t) = 0
On a à ce moment : dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m)
et x(t) = (d - mg/k) + mg/k = d ---> position de la partie supérieure du ressort relaché.
La vitesse de la bille est à cet instant de : -(d - mg/k).V(k/m) = -(0,03 - 0,06/40).V(40/0,006) = - 2,327 m/s (soit 2,327 m/s vers le haut).
-----
Etrange.
Par l'énergie cinétique:
Vo² = (k/m)d² - 2gd
Par la force dans le mouvement :
Vo = -(d - mg/k).V(k/m)
Vo² = (k/m) * (d - mg/k)²
Vo² = (k/m) * (d² + m²g²/k² - 2mgd/k)
Vo² = (k/m)d² + mg²/k - 2gd
On remarque que la différence provient du terme mg²/k, il reste à trouver ce que cela veut dire.
Il y a une erreur dans mon dernier message.
C'est oK jusque ceci :
...
x(t) = (d - mg/k).cos(V(k/m).t) + mg/k
dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m).sin(V(k/m).t)
d²x/dt² = -(d - mg/k) * (k/m).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (g - d.k/m).cos(V(k/m).t)
-----------
Ensuite, on change ainsi :
en x = 0 (ressort détendu), on a:
(d - mg/k).cos(V(k/m).t) + mg/k = 0
cos(V(k/m).t) = (mg/k)/((mg/k) - d)) = mg/(mg - kd)
cos(V(k/m).t) = V(1 - (mg/(mg - kd))²) = (1/(mg-kd)) * V((mg - kd)² - m²g²)
cos(V(k/m).t) = (1/(mg-kd)) * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m).(1/(mg-kd)) * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = -(1/k)(kd - mg).V(k/m).(1/(mg-kd)) * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = (1/k).V(k/m). * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = V((k²d² - 2mgkd)/(km))
dx/dt = V(kd² - 2mgd)/m)
v² = (k/m)d² - 2gd
Et donc au moment où le ressort est détendu, on retrouve bien la même valeur de la vitesse de la bille que par la méthode des énergies.
-----
Rezut, il manque un signe -
...
en x = 0 (ressort détendu), on a:
cos(V(k/m).t) = -(mg/k)/((mg/k) - d)) = -mg/(mg - kd)
...
On arrive finalement à:
dx/dt = - V(kd² - 2mgd)/m)
Le signe - car la vitesse est vers le haut.
v² = (k/m)d² - 2gd
Et donc au moment où le ressort est détendu, on retrouve bien la même valeur de la vitesse de la bille que par la méthode des énergies.
----------
On peut encore calculer l'accélération de la masse à ce moment (ressort juste détendu, donc a une longueur L ).
En x = 0 : cos(V(k/m).t) = -mg/(mg - kd)
d²x/dt² = (g - d.k/m).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (1/m).(mg - d.k).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = -(1/m).(mg - d.k).mg/(mg - kd)
d²x/dt² = -g
-----
Il reste des erreurs de signes et d'autre dues à des copier-coller dans mes messages.
Je reprends le tout, en espérant éviter cette fois ce genre de distractions.
--------------
Avec l'axe des x vertical dirigé vers le bas :
F = mg - kx = m d²x/dt²
m d²x/dt² + kx = mg
d²x/dt² + (k/m)x = g
p² = -(k/m)
x(t) = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t) + mg/k
x(0) = d
d = B + mg/k
B = d - mg/k
(dx/dt)0 = 0 --> A = 0
x(t) = (d - mg/k).cos(V(k/m).t) + mg/k
dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m).sin(V(k/m).t)
d²x/dt² = -(d - mg/k) * (k/m).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (g - d.k/m).cos(V(k/m).t)
en x = 0 (ressort détendu), on a:
(d - mg/k).cos(V(k/m).t) + mg/k = 0
cos(V(k/m).t) = (mg/k)/((mg/k) - d)) = mg/(mg - kd)
sin(V(k/m).t) = V(1 - (mg/(mg - kd))²) = |1/(mg-kd)| * V((mg - kd)² - m²g²)
sin(V(k/m).t) = |1/(mg-kd)| * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = -(d - mg/k).V(k/m).|1/(mg-kd)| * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = -(1/k)(kd - mg).V(k/m).|1/(mg-kd)| * V(k²d² - 2mgkd)
Et comme mg-kd = 0,006*10 - 40*0.03 = -1,14 < 0 --> |1/(mg-kd)| = -1/(mg-kd)
dx/dt = -(1/k).V(k/m). * V(k²d² - 2mgkd)
dx/dt = -V((k²d² - 2mgkd)/(km))
dx/dt = -V(kd² - 2mgd)/m)
v² = (k/m)d² - 2gd
Et donc au moment où le ressort est détendu, on retrouve bien la même valeur de la vitesse de la bille que par la méthode des énergies.
---
En x = 0 : cos(V(k/m).t) = mg/(mg - kd)
d²x/dt² = (g - d.k/m).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (1/m).(mg - d.k).cos(V(k/m).t)
d²x/dt² = (1/m).(mg - d.k).mg/(mg - kd)
d²x/dt² = g (accélération vers le bas suivant la convention de signe du début)
Donc en x = 0, l'accélération de la masse est celle de la pesanteur uniquement. (donc la bille est soumise uniquement à son poids, le ressort ne pousse plus sur la bille)
--> La bille décolle du ressort en x = 0, soit quand le ressort a une longueur L (longueur à vide du ressort).
---
Sauf nouvelles distraction.
@J-P
Bonjour
Pas mal de temps à passé depuis le dernier message, en fait je voulais bien regardé à fond ta résolution avant de répondre et je me suis un peu perdu en route en essayant de comprendre le passage ou tu pose p² = -(k/m) pour aboutir sur l'expression de x(t) mais c'est sans doute des techniques de résolution d'equa. diff. qui me manquent.
En tout cas mille merci pour ton aide et ces réponses très complètes.
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