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Lois de Newton et Equation différentielle

Posté par
Ravens 05-04-09 à 21:24

Bonjour, j'essais de m'entrainer pour le BAC qui arrive à grands pas, et j'ai trouver l'exercice suivant sur le net, mais je n'arrive pas à le résoudre, et évidemment : pas de correction :S
Alors, je vous remercie d'avance à ceux qui m'aideront, voici l'énoncé :

Une goutte de brouillard qu'on pourra supposer sphérique, de masse m, de masse volumique p = 1.0 g.cm-3, de rayon R, tombe verticalement dans l'air. Elle est soumise à une force de frottement de la forme f(vecteur)= -k..
A l'approche du sol, la vitesse de la goutte est constante et a pour valeur v = 1.5 cm.s-1.
On rappelle l'expression du volume d'une sphère : V = 4R² /3

1/ Sachant que l'air a une masse volumique p = 1,3x10^-3g.cm-3, montrer que la poussée d'Archimède est négligeable devant le poids de la goutte.

Pour moi, P = m.g et la poussée d'archimère correspond à F = p.V.g mais le problème c'est qu'on ne connait ni m, ni R qui nous permettrait de calculer V. :S

2/ Préciser les conditions d'étude.

Système : {goutte de brouillard}, de masse m, de centre d'inertie G.
Référentiel terrestre, supposé galiléen.
On choisit un repère d'espace : axe Ox, orienté vers le bas et verticale.

3/ Après avoir fait le bilan des forces, appliquer la deuxieme loi de Newton pour exprimer l'accélération ag du centre d'inertie de la goutte du brouillard.

Bilan des forces : Le poids, P = m.g
                   La poussée d'Archimède, F = p.V.g
                   Les forces de frottements, f = k.v

On applique la deuxième loi de Newton : Fext = m.ag
P + F + f = m.ag
P + F + f = m. dvg/dt

Mais après... :/

4/ Etablir l'équation différentielle du mouvement de la goutte.

Je sais pas bien comment m'y prendre ici, et du coup, je peux pas faire les questions suivantes =(

5/ En déduire la condition pour que la vitesse limite soit atteinte. Donner l'expression littérale de cette vitesse limite en fonction de m, g et k.

6/ Vérifier que v = vlim.(1 - e(-k/m)t) est solution de l'équation différentielle.

7/ Sachant que le coefficient k qui intervient dans la force de frottement s'écrit k = 6R, calculer le rayon R de la goutte.


Données : valeur du champ de pesanteur : g = 9.8 m.s-2
          viscosité dynamique de l'air : = 1,8.10-5 N.m-2.s

Voila, merci d'avance a tous ceux qui m'aideront. A ++
Clément.

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 10:41

Bonjour,
Pour commencer, la 1 :
Pour le poids
P\,=\,\rho_{eau}\,V\,g
Pour la poussée d'achimède
F_A\,=\,\rho_{air}\,V\,g
Si on fait le rapport :
\frac{P}{F_A}\,=\,\frac{\rho_{eau}\,V\,g}{\rho_{air}\,V\,g}
\frac{P}{F_A}\,=\,\frac{\rho_{eau}\,V\,g}{\rho_{air}\,V\,g}
\frac{P}{F_A}\,=\,\frac{1,0}{1,3.10^{-3}}

Le rapport  \frac{P}{F_A}  est égal à environ 770.
Donc la force d'Archimède peut être négligé devant le poids

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 10:52

Merci beaucoup, mais la masse volumique de l'air ne fait pas partie des données, alors je ne sais pas si j'aurais le droit d'utiliser cette formule le jour du BAC :S

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 12:05

"Sachant que l'air a une masse volumique p = 1,3x10^-3g.cm-3"
"la masse volumique de l'air ne fait pas partie des données"
C'est contradictoire...

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 12:11

Dans la réponse à la question 3 : "P + F + f = m.ag"
Est-ce une relation vectorielle ?

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 12:50

Ah ouiiiii mince, j'avais pas vu ^^
Oui c'est une relation vectorielle, je sais pas comment mettre les vecteurs :S

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 14:03

\vec{P}\,+\,\vec{F_A}\,+\,\vec{f}\,=\,m\,\vec{a_G}
Il faut écrire \vec{P}\,+\,\vec{F_A}\,+\,\vec{f}\,=\,m\,\vec{a_G}  avec devant et à l'arrière.
C'est du LaTeX...

La force d'Archimède est négligeable devant le poids. On va prendre un axe Oz (pour faire comme tout le monde   ) vertical et orienté vers le bas (si tu veux...)
On projette sur cet axe.
P\,-\,k\,v\,=\,m\,\frac{dv}{dt}
\frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,g

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 14:07

"Il faut écrire \vec{P}\,+\,\vec{F_A}\,+\,\vec{f}\,=\,m\,\vec{a_G}"  avec tex entre crochets devant et  \tex entre crochets à l'arrière.
Ou utiliser l'icône LTX sous le cadre de réponse.

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 14:54

ah, d'accord, merci pour l'info je saurais maintenant héhé

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 16:08

Bon alors, je suis arrivé à la question 4 et 5, et je bloque sur la 6 maintenant :S
Pour la 4, comme vous l'avez dit, l'équation différentielle correspond à : \dv/dt\,+\,\k/m.v\,-\g
et pour la 5, \vlim\,=\,gm/k\

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 16:09

oula, frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,g pour la 4

Posté par
Ravensre : Lois de Newton et Equation différentielle 06-04-09 à 17:05

hum, désolé du quatrieme post :s mais c'est bon j'ai reussi la 6, mais j'arrive toujours pas la 7, a moins que k = 1 ? c'est le vecteur unitaire de l'axe Oz ?

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 07-04-09 à 12:54

La vitesse limite est effectivement mg/k

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 07-04-09 à 12:57

Il y a une autre façon de la trouver. Cela consiste à dire que, la vitesse étant constante, la somme des forces est nulle (1ère loi de Newton).
Donc P = f
mg = kvlim
vlim = mg/k

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 07-04-09 à 14:33

Pour la 6
On a \frac{dv}{dt}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v\,+\,g
C'est de la forme y' = ay + b, équation différentielle qui a pour solution (voir le cours de maths) :
y\,=\,A\,e^{-at}\,-\,\frac{b}{a}  , A étant une constante.
On trouve donc v\,=\,\frac{mg}{k}\,\Big(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\Big)
D'où  v\,=\,v_{lim}\,\Big(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\Big)

Pour la 7
Sachant que  v_{lim}\,=\,\frac{mg}{k} :
v_{lim}\,=\,\frac{mg}{6\pi\eta R}
R\,=\,\frac{mg}{6\pi\eta v_{lim}}

avec vlim = 1,5.10-2 m.s-1  (donnée dans l'énoncé)

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 07-04-09 à 14:42

Pour la 6
On a \frac{dv}{dt}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v\,+\,g
C'est de la forme y' = ay + b, équation différentielle qui a pour solution (voir le cours de maths) :
y\,=\,A\,e^{-at}\,-\,\frac{b}{a}  , A étant une constante.
On trouve donc v\,=\,\frac{mg}{k}\,\Big(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\Big)
D'où  v\,=\,v_{lim}\,\Big(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\Big)

Pour la 7
Sachant que  v_{lim}\,=\,\frac{mg}{k} :
v_{lim}\,=\,\frac{mg}{6\pi\eta R}
R\,=\,\frac{mg}{6\pi\eta v_{lim}}

avec vlim = 1,5.10-2 m.s-1  (donnée dans l'énoncé)

Posté par
Marc35re : Lois de Newton et Equation différentielle 07-04-09 à 17:21

J'ai oublié un petit détail ... On n'a pas la masse de la goutte...
v_{lim}\,=\,\frac{m\,g}{k}
v_{lim}\,=\,\frac{\rho_{eau}\,\frac{4}{3}\,\pi\,R^3\,g}{6\pi\eta\,R}
v_{lim}\,=\,\frac{\rho_{eau}\,\frac{4}{3}\,\pi\,R^2\,g}{6\pi\eta}
R^2\,=\,\frac{v_{lim}\,6\pi\eta}{\rho_{eau}\,\frac{4}{3}\,\pi\,g}
R\,=\,\sqrt{\frac{v_{lim}\,6\pi\eta}{\rho_{eau}\,\frac{4}{3}\,\pi\,g}}


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