Bonsoir.

Hum ?


Je suppose que tu n'as pas besoin d'aide pour celle-là mais sait-on jamais :
Il y a la force de rappel élastique du ressort, le poids, et la réaction du tapis, qui a ici deux composantes : une normale, opposée au poids, l'autre tangentielle, opposée à la vitesse.


Appliquons-donc la relation fondamentale de la dynamique.
En notant (Ox) l'axe selon lequel se fait le mouvement, orienté du mur vers l'extérieur, et (Oz) l'axe vertical ascendant, alors projeté selon (Oz) on a immédiatement que la réaction normale a la même valeur que le poids, mais bien sûr le vecteur est orienté dans le sens opposé.
Maintenant selon (Ox) on a :
T+F=ma, avec T la valeur (algébrique) de la tension de rappel du ressort, F la valeur (algébrique) de la force de frottements, et a l'accélération selon (Ox) de la masse M.
Avant que la masse M glisse sur le tapis, eh bien elle ne glisse pas . Donc sa vitesse est v0 et donc son accélération est nulle, on peut donc écrire : T+F=0, soit T=-F
Or on connaît l'expression de T, qui vaut -k(x-l₀)
Donc F=k(x-l₀).
Or si la masse ne glisse pas, alors on a la relation : Ff_stN, où N est la valeur de la réaction normale.
Or on connaît N, qui vaut mg d'après la RFD projetée sur (Oz).
Donc : Ff_stmg, soit k(x-l₀)f_stmg
On en déduit donc la valeur maximale que peut prendre x pour respecter cette condition statique de non glissement.
Dès que l'inégalité n'est plus respectée, la masse M glisse, on en déduit donc x.


On a toujours N=mg
Par contre, rien ne dit ici que la vitesse est constante. Au contraire, il y a de fortes chances qu'elle de le soit pas, par conséquent on réécrit :
T+F=ma
Soit : -k(x-l₀)+F=mx''
Or cette fois la condition dynamique de glissement nous donne une égalité : F=f_cN=f_cmg
On en déduit la nouvelle relation :
-k(x-l₀)+f_cmg =mx'', à écrire de façon un peu plus prendre en faisant apparaître w0².
On écrit donc :
x'' + w0²x=w0²l₀ + w0²f_cg=w0²(l₀ + f_cg)

La solution particulière est simple et vaut l₀ + f_cg.
La solution homogène est aussi simple : x(t)=Acos(w0t) + Bsin(w0t)
D'où la solution :
x(t) = Acos(w0t) + Bsin(w0t) + l₀ + f_cg

On a besoin des conditions initiales x(t2) et x'(t2) pour résoudre ce problème. En effet, à t=0 ça ne marche pas car la masse n'a pas encore glissé.
En prenant t2=0, on a alors x(0)=x0 et x'(0)=v0, et on en déduit A et B.
Par identification, on en déduit l'amplitude du mouvement, et on déduit aisément jusqu'où le cube va se déplacer.
A priori, le cube devrait repartir dans la direction opposée, en raison de la force de rappel exercée par le ressort. La question est de savoir si à ce moment là on considère que le cube glisse ou pas, ce qui modifie les équations du mouvement.

Oui c'est bien possible que je me sois trompé, mais l'important est le raisonnement.

Tout dépend comment tu définies T et F. J'ai précisé que je considérais ces valeurs algébriques, donc peuvent être négatives. Autrement dit, T est pour moi tel que vecteur(T)=T_x, idem pour F. Ce ne sont donc pas les normes des forces.
Avec ces définitions, alors T+F=ma.

Par contre si on appelle T et F les normes des forces de rappel et de frottement, alors là il faut en effet faire attention au signe selon le sens dans lequel est orientée la force par rapport au sens des x croissants.