Attention, à ce que tu écris, j'ai failli mal interpréter.

Le mot "continu" n'a pas la même signification en mathématiques (fonction continue) qu'en électricité "tension ou courant continu".

Ici, tu emploies le mot "continu" dans le sens matheux de "fonction continue"... alors que tu parles d'un sujet en électricité... Donc méfiances aux interprétations de tes propos.
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Tout dépend de ce que tu entends par "justifier"

Si les relations i=C*du/dt et u=Ldi/dt sont admises, alors c'est facile.

Dans un condensateur, on a i=C*du/dt, une discontinuité dans u impliquerait du/dt = oo à l'instant de la discontinuité et donc une intensité de courant infinie à cet instant ... ce qui est impossible.

Avec une inductance : on a u=L*di/dt, une discontinuité dans i impliquerait di/dt = oo à l'instant de la discontinuité et donc une différence de potentiel U infinie à cet instant ... ce qui est impossible.

Par contre si on cherche une justification physique, sans l'aide des formules ci dessus, c'est plus ardu.
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Ma remarque initiale sur la disparité de significations de "continu" entre matheux et électriciens n'est pas "à oublier".
Suivant ton interlocuteur, tu risques fort de ne pas être compris (voire pire).