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Gradient de r

Posté par
spynight 13-05-14 à 13:12

Bonjour,

Un exercice me demande de trouver le gradient de r en utilisant les coordonnées cartésiennes puis en utilisant les coordonnées sphériques.

En coordonnée cartésiennes j'y arrive : je dérive partiellement l'équation ci-dessous
$\\ r=\sqrt{x²+y²+z²} \\ \\ \bigtriangledown r=\frac{\vec{r}}{r} \\$
En sphérique :
$\\ \vec{grad}(r) = \begin{pmatrix}\frac{\partial r}{\partial r}\\\frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial \Theta}\\\frac{1}{r sin\Theta}\frac{\partial r}{\partial \phi}\end{pmatrix} \\$
Je ne sais pas ce que je dois dériver. Je n'arrive pas à exprimer r en fonction de théta ou phi pour pouvoir le dériver.

Ce que je sais c'est que le vecteur r en coordonnées cartésiennes s'exprime tel que :
$\\ \vec{r} = \left(\begin{array}{l}rsin\Theta cos\phi\\rsin\Theta sin\phi\\rcos\Theta\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right) \\$

En résumé : je cherche à retrouver le gradient de r en faisant les calculs dans les coordonnées sphériques.

Posté par Gradient de r 13-05-14 à 14:05

Bonjour spynight,

tu cours le risque de te faire remarquer que c'est un exercice de math et non de physique que tu poses, encore que le gradient a énormément d'utilité en physique...

En fait tu as pratiquement résolu ton pb : le vecteur grad.r est bien r / r (je mets les vecteurs en gras c'est plus rapide que la flèche). C'est donc un vecteur de norme 1, et dirigé dans le même sens que le vecteur OM, soit le premier vecteur unitaire du référentiel sphérique, appelé souvent u_r. Ceci, on le trouve bien sûr avec les coordonnées cartésiennes, mais en sphériques c'est pratiquement immédiat ! tu écris " Je n'arrive pas à exprimer r en fonction de théta ou phi pour pouvoir le dériver. " : Heureusement que tu n'y arrives pas, car le vecteur r a la symétrie sphérique, donc par définition il ne dépend ni de ni de . Seule la première des composantes est non nulle, et elle vaut évidemment r / = 1 ; les dérivées par rapport à et à sont nulles. On retrouve bien grad.r = u_r.

Si tu as encore des pb écris-moi.

Prbebo

Posté par grad r 13-05-14 à 14:06

Bof, il y q quelques fautes de frappe dans ma réponse, mais je p ense qu'elle reste compréhensible.

Posté par re : Gradient de r 13-05-14 à 14:28

J'ai parfaitement compris.

J'obtiens $\vec{grad}(r) = \vec{u_r} \\$
J'ai aussi appris que $\vec{u_r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left(\begin{array}{l}rsin\Theta cos\phi\\rsin\Theta sin\phi\\rcos\Theta\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}sin\Theta cos\phi\\sin\Theta sin\phi\\cos\Theta\end{array}\right) = \frac{\vec{r}}{r} \\$
Je retrouve le même résultat. Merci. Problème résolu.

Posté par Gradient de r 13-05-14 à 15:01

Bah, il n'y a vraiment pas de quoi. Si tu as une minute à m'accorder, peux-tu me donner la commande latex avec laquelle tu fais les flèches ? Merci d'avance. B.

Posté par re : Gradient de r 13-05-14 à 15:08

\vec{v} = v

Avant la ligne ci-dessus, je mets [tex] et après je mets [/tex ]

Posté par Gradient de r 13-05-14 à 15:29

en effet, c'est plus simple que la commande que je connaissais (longrightarrow etc...). Merci pour le tuyau, et si tu as encore des soucis avec l'analyse vectorielle (et avec ce qui va sans doute suivre, cad l'électromagnétisme), tu connais l'adresse. B.B.

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