Bonjour

Soient A et B deux opérateurs

Il faut montrer la relation exp(A)*exp(B)=exp([A,B]/2)*exp(A+B)

Il fallait démontrer que [A,B]e^(B)=[A,e^(B)], ce que j'ai réussi à faire, j'imagine que c'est ultile pour la suite (***)

mais en suite il faut montrer en étape intermédiaire que si on pose f(x)=e^(xA)*e^(xB)*e^(-x(A+B)), sa dérivée est censée valoir f'(x)=x*[A,B]*f(x)

Comment arrive-t-on à ce résultat ??

Je pense qu'il faut utiliser (***) mais je ne vois pas comment !

Bon ensuite on en déduit une équation différentielle et on en déduit la formule de Flauber, ça j'ai compris... je ne comprends pas le coup de la dérivée.......


pour moi

f'(x)=A*e^(xA)*e^(xB)*e^(-x(A+B))+e^(xA)*B*e^(xB)*e^(-x(A+B))-e^(xA)*e^(xB)*(A+B)*e^(-x(A+B))

//on fait agir l'opérateur A sur les 3 exponentielles puisqu'il est tout devant, pour B on le fait agir sur les 2 exponentielles de devant, et pour A+B, sur la deuxième..)

=(A*e^(xA))*e^(xB)*e^(-x(A+B))+e^(xA)*(A*e^(xB))*e^(-x(A+B))+e^(xA)*e^(xB)*(A*e^(-x(A+B)))+e^(xA)*(B*e^(xB))*e^(-x(A+B))+e^(xA)*e^(xB)*(B*e^(-x(A+B)))-e^(xA)*e^(xB)*((A+B)*e^(-x(A+B)))

//le bold se simplifie...

=(A*e^(xA))*e^(xB)*e^(-x(A+B))+e^(xA)*(B*e^(xB))*e^(-x(A+B))

OK, et ensuite ? je ne vois même pas de "x" sorti de l'exponentielle comme ça devrait être le cas...

Une idée svp ? merci................