Bonjour Loikadesi,

Aucune difficulté dans cet exercice :

1 -  Il faut d'abord calculer le champ électrostatique qui existe en un point M de l'axe de l'anneau. Voir la figure ci-dessous, en appelant R le rayon de l'anneau, Q sa charge, Ox son axe et en posant OM = x. Le calcul se fait en décomposant l'anneau en éléments de longueur dl tels que celui placé en P. Cet élément porte une charge dq = .dl, où est la densité linéique de charge ( = Q/2R).
Cet élément crée en M le champ dE de norme dq/4₀/MP² (je mets en gras les grandeurs vectorielles). Il faut projeter dE sur l'axe Ox, soit un vecteur dE₁ de norme dE.cos, où cos = R/MP. On arrive facilement à dE₁ = .x/(4₀/MP³).dl. L'intégration est immédiate, car la somme des éléments dl donne 2R.
Le champ électrostatique en M a donc pour norme E₁ = Q/(4₀).x/MP³.

2 -  Il faut se placer au voisinage du centre O de l'anneau, car c'est dans cette région que E₁ varie linéairement avec x (je n'ai pas le temps de tracer la courbe E₁ = f(x), et de plus tu as le niveau d'études suffisant pour la tracer tout seul).
Au voisinage de x = 0, MP³ R³ et on obtient E₁ = Q/(4₀).x/R³.

Plaçons en M une charge de signe opposé à Q (un électron de masse m, en supposant que l'anneau est chargé positivement). L'électron est soumis à la force F = -e.E₁ de norme -kx en posant k = eQ/(4₀)/R³.
Le mouvement de l'électron est donc donné par md²x/dt² = -kx ou encore d2x/dt2 = -²x, en posant ² = k/m, constante positive.

On retrouve l'équation différentielle ultra classique d'une masse m soumise à une force de rappel proportionnelle à sa position x (masse accrochée à un ressort, programme de terminale…).
Sous réserve que x reste petit, l'électron a donc un mouvement d'oscillation de part et d'autre de O, avec une pulsation qui, si tu remplaces k par son expression, va beaucoup ressembler au résultat qui t'est demandé.

PS à mon post précédent :

voici ici le calcul du champ sur l'axe de l'anneau, en calculant d'abord le potentiel en x (appelé z sur ce site) puis en en prenant le gradiant (E= -V/x), ainsi que le tracé de la courbe donnant la norme du champ en fonction de la position de M.