Niveau master

Flux thermique à la CMB

Posté par
amde 22-12-23 à 13:30

Bonjour,

j'ai un DM à faire en physique de la Terre et j'ai des problèmes de résolution en particulier pour la question 3 d. (énoncé complet en pièce jointe)

Partie 3 : Modélisation du profil de température dans une région de descente
Nous modélisons maintenant le profil de température $T(z)$ au-dessus du noyau externe de la Terre dans une région de descente du manteau (c'est-à-dire une plaque subduite plongeant au-dessus du noyau externe). Le flux de descente est caractérisé par une vitesse verticale $v_z(z)$ (positive en cas de descente). En supposant un état stationnaire, le profil de température résulte d'un équilibre entre l'advection verticale de chaleur et la diffusion de chaleur :
$-\rho c_p v_z(z) \frac{dT}{dz} = k \frac{d^2T}{dz^2}$ ; (1)
où $\( c_p \$ ) est la capacité thermique.

Nous supposons que $v_z(z) = \dot{\epsilon} z$ à proximité du noyau externe, où $\dot{\epsilon} = \frac{dv_z}{dz}$ est le taux de déformation, supposé constant dans l'espace et le temps.
(a) Montrez que l'équation (1) peut être reformulée comme l'équation suivante pour $q(z) = -k \frac{dT}{dz}$ :
$-\dot{\epsilon} z q(z) = \kappa \frac{\partial q}{\partial z}$ ; (2)
où $\kappa = \frac{k}{\rho c_p}$ .

(b) Vérifiez que
$q(z) = C \exp\left(-\frac{z}{\delta}\right)^2$ ; où $\delta = \sqrt{\frac{2\kappa}{\dot{\epsilon}}}$ ; (3)
est une solution de l'équation (2), avec $C$ une constante d'intégration.
En intégrant l'équation (3) pour $q(z)$ par rapport à $z$ , on obtient
$T(z) = A \text{erf}\left(-\frac{z}{\delta}\right) + B$ ; (4)
où la fonction erreur $\text{erf}(x)$ est définie comme
$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-u^2} \,du$ ; (5)
et où $A$ et $B$ sont des constantes d'intégration.

(c) Trouvez les expressions de $A$ et $B$ en fonction des conditions aux limites $T(z = 0) = T_{\text{cmb}} \) et $ T(z \rightarrow \infty) = T_m$ , où $T_m \approx 2500 \, \text{K}$ est la température du manteau au-dessus de la couche D''.

Nous rappelons que $\text{erf}(0) = 0 $ et \( \lim_{{x \to -\infty}} \text{erf}(x) = -1$ .

(d) En utilisant l'expression obtenue pour $A$ , montrez que le flux de chaleur $q_{\text{cmb}} = q(z = 0)$ au niveau du noyau externe est
$q_{\text{cmb}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}k\left(\frac{\Delta T}{\delta}\right)$ ; où $\Delta T = T_{\text{cmb}} - T_m$ ; (6)

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance pour vos réponses.

amde

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