Niveau maths sup

Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée

Posté par
Manga2 11-10-14 à 12:28

Salut tout le monde,
Je suis en première année après le bac en fac on a commencé par le module d'électricité et on a abordé des compléments mathématiques dont le calcul de flux.
On nous demande dans cet exercice de calculer le flux du champ de vecteur $\vec{V}=\dfrac{k}{r^3}\vec{r}$ où $K$ est une constante et $\vec{r}=\vec{OM}$ à travers une surface fermée contenant l'origine O.
On ne peut pas utiliser le théorème d'Ostrigradski puisque ${\rm div}\,{\vec{V}}$ n'est pas définie au point O.
On doit donc faire un calcul direct.
On a:
$\Phi=\oint\oint_S\vec{V}.\vec{dS}$ et $\vec{dS}=dS\,\vec{n}$ et $\vec{r}=r\vec{e_r}$ .
Donc:
$\Phi=\oint\oint_S\frac{K}{r^2}\,\cos(\alpha)dS$

Je bloque ici. Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance!

$Flux d\'un champ de vecteur à travers une surface fermée$

Posté par re : Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée 12-10-14 à 11:48

Bonjour,

Connaissez-vous la notion d'angle solide ?

Posté par re : Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée 12-10-14 à 13:01

Bonjour,
Merci pour le poste. Non on ne la connais pas. Par contre dans le livre où cet exercice se citue, dans la partie cours on trouve un paragraphe qui la traite.

Citation :
Par définition l'angle solide $d\Omega$ sous lequel on voit une surface élémentaire $\vec{dS}$ à partir d'un point donné $O$ est: $d\Omega=\dfrac{\vec{e_r}.\vec{dS}}{r^2}=\dfrac{dS\cos\alpha}{r^2}$

.

Bon on a donc:
$dS=\dfrac{r^2}{\cos\alpha}d\Omega$ d'où:

$\Phi=\oint\oint_SKd\Omega=K\oint\oint_Sd\Omega$

Là encore je bloque^^ même si l'intégrale paraît simple (bon on a appris comme compléments mathématiques en physique à calculer $\iint$ mais pas $\oint\oint$ .
Il paraît qu'il faut d'abord déterminer l'intervalle où varie $\Omega$ (je pense que $\alpha$ varie entre $0$ et $\pi$ ).

$Flux d\'un champ de vecteur à travers une surface fermée$

Posté par re : Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée 12-10-14 à 22:38

S'il vous plaît quelqu'un peut m'aider? Merci d'avance!

Posté par re : Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée 13-10-14 à 12:34

Re,

$\int\!\!\int d\Omega$ est juste l'angle solide sous lequel est vue la surface. C'est $4\pi$ vu de l'intérieur et $0$ vu de l'extérieur.

Aucun calcul à faire.

Posté par re : Flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée 13-10-14 à 22:11

xD Je me suis contenté de la définition donnée mais en lisant l'article Wikipedia sur l'Angle Solide je comprends mieux.
Effectivement c'est bien $4\pi$ .
Merci beaucoup! J'ai bien compris!

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