Niveau maths spé

Expression vecteur vitesse

Posté par
matix 24-11-09 à 00:37

Bonsoir,

En considérant la figure ci-dessous (désolé, sans les flèches pour les vecteurs..)
Expression vecteur vitesse

Quelques précisions tout d'abord pour situer le problème: il s'agit de l'étude du mouvement d'une bobine de fil qui qui se déroule en tombant. Elle reste dans le plan vertical (O,x,y).

Je cherche à déterminer la vitesse au point G.

On a $\vec{OG} = \vec{OA} + \vec{AG} = u \vec{u} + R \vec{v}$ .

Donc $\displaystyle \vec{V(G)} = |\frac{d(u \vec{u} + R \vec{v})}{dt}|$ .

Mais voilà, on est censé trouvé au final   $\displaystyle \vec{V(G)} = (\dot{u} -R \dot{\alpha}) \, \vec{u} + u \dot{\alpha} \, \vec{v}$ .
Or, je ne me souviens pas de la "technique" (s'il y en a bien une) pour arriver à ce résultat.
En effet, si je détaille, on a sauf erreur   $\displaystyle \vec{V(G)}=\dot{u} \vec{u} + u \, \frac{d \vec{u}}{dt} + R \, \frac{d \vec{v}}{dt}$ . Comment détermine-t-on   $\displaystyle \frac{d \vec{u}}{dt}$ et $\displaystyle \frac{d \vec{v}}{dt}$ ?

En espérant que vous rafraîchirez ma mémoire, merci d'avance!

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !

Posté par re : Expression vecteur vitesse 24-11-09 à 02:34

Bon, j'ai cerné où se situe mon problème. En considérant le schéma ci-dessous:
Expression vecteur vitesse

Je sais que $\vec{u_r}=cos(\theta) \, \vec{u_x} + sin(\theta) \, \vec{u_y}$

et que $\vec{u_{\theta}}=-sin(\theta) \, \vec{u_x} + cos(\theta) \, \vec{u_y}$

Seulement... Je ne parviens pas à le "prouver" rigoureusement à l'aide de la figure.. Pouvez-vous me proposer une preuve rédigée svp?

Merci d'avance!

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !

Posté par Expression vecteur vitesse 24-11-09 à 06:31

il suffit de projeter les vecteurs unitaires u_ret u sur les axes (angles et +/2)

Posté par re : Expression vecteur vitesse 24-11-09 à 12:01

C'est justement ça qui me pose quelques soucis..
Par exemple, a-t-on bien $\displaystyle cos (\theta) = \frac{\vec{u_x}}{\vec{u_r}}$ ? Je ne m'en sors pas..