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Expression des vecteurs position et vitesse

Posté par
manubac 25-11-12 à 00:06

Bonjour/bonsoir,

Voilà une question que je me suis posée à propos de l'expression des vecteurs vitesse et position dans un référentiel quelconque \mathcal R=(O;\vec x,\vec y,\vec z) :

On considère le point M dont la position est donnée dans \mathcal R par :
\vec{OM}=x\vec x+y\vec y+z\vec z.

Je cherche à donner le vecteur vitesse du point M.
Je sais, d'après mon bouquin, que le résultat est : \vec V(M/\mathcal R)=\dfrac{dx}{dt}\vec x+\dfrac{dy}{dt}\vec y+\dfrac{dz}{dt}\vec z=\dot x\vec x+\dot y\vec y+\dot z\vec z\;.

J'essaie donc de retomber sur ce résultat.
On sait, par définition, que :
\vec V(M/\mathcal R)=\dfrac{d\vec{OM}}{dt}\mid_{\mathcal R}

D'où \vec V(M/\mathcal R)=\dfrac{d(x\vec x+y\vec y+z\vec z)}{dt}\mid_{\mathcal R}
Soit \vec V(M/\mathcal R)=\dfrac{d(x\vec x)}{dt}\mid_{\mathcal R}+\dfrac{d(y\vec y)}{dt}\mid_{\mathcal R}+\dfrac{d(z\vec z)}{dt}\mid_{\mathcal R}

À partir de là, je serais tenter de faire, pour trouver la solution :

\vec V(M/\mathcal R)=\dfrac{dx}{dt}\mid_{\mathcal R}\times\vec x+\dfrac{dy}{dt}\mid_{\mathcal R}\times\vec y+\dfrac{dz}{dt}\mid_{\mathcal R}\times\vec z
=\dot x\vec x+\dot y\vec y+\dot z\vec z

Est-ce que c'est ça ? Si oui, pourquoi \dfrac{d(x\vec x)}{dt}\mid_\mathcal R=\dfrac{dx}{dt}|_\mathcal R\times\vec x ? Est-ce que j'aurais pu marquer dès le début de ma « démonstration », \dfrac{d\vec{OM}}{dt}|_\mathcal R=\dfrac{d(x\vec x+y\vec y+z\vec z)}{dt} sans marquer le |_\mathcal R à droite tout en étant rigoureux ?

Merci d'avance pour l'aide que vous pouvez m'apporter.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 10:13

Bonjour,

Il y a beaucoup de confusions. Déjà, tu confonds un repère (origine + base) et un référentiel (galiléen, héliocentrique, géocentrique, etc...)
Ensuite, la base est généralement orthonormée (ce que laisse penser ton écriture, c'est qu'il s'agit d'un repère cartésien d'origine non définie). Donc, on utilise plutôt vect(ux) etc.. pour ne pas confondre coordonnées et vecteurs unitaires.

Ensuite, le résultat de ton bouquin n'est vrai que si ton repère est cartésienne.
Tes calculs sont corrects si tu es dans un repère cartésien uniquement.

Et pour répondre à ta question, il faut bien mettre le R (de référentiel). Imagine que tu es dans un train. Quelle est la vitesse du train pour toi (est ce que tu t'éloignes du train ?) ? Quelle est la vitesse du train pour une vache à l'extérieur ? Est la même ? Est le même référentiel ?

Posté par
krinn Correcteurre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 13:39

bonjour
dans un repère cartésien R (O, ,,)

vect(OM) = x + y + z

donc (M/R) = d(x ) /dt |R + d(y )/dt + d(z )/dt


d(x ) /dt |R = dx/dt + x d/dt |R

mais comme est un vecteur fixe dans R - ses coordonnées sont constantes (1,0,0)
on a d/dt |R = 0 (vecteur nul)

d'où: d(x ) /dt |R = dx/dt

mais il y a des cas où n'est pas fixe dans le repère et alors d/dt 0

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 14:37

@Krinn : Merci ton explication !
J'ai juste pas compris un détail : pourquoi dans l'égalité :  d(x ) /dt |R = dx/dt   , le "relativement à \mathcal R" n'est-il pas repris à droite ?

@Boltzmann_Solver : Référentiel et repère, c'est différent : c'est-à-dire que quand je définis un référentiel d'espace (disons géocentrique, où l'espace est tout entier entraîné avec le solide qu'est la Terre), je n'ai pas défini en même temps un repère géocentrique (qui aurait alors pour origine le centre de masse de la Terre) ? Dans quel problème dois-je définir un repère, dans quel pb dois-je plutôt définir un référentiel d'espace ?

Pourquoi mon écriture laisserait-elle penser que le repère n'a pas d'origine ?
Je penserai à prendre un repère orthonormé la prochaine fois. Mais quand exactement faut-il choisir un repère orthonormé (en dehors des cas où on fait des calculs avec des sin et des cos) ?

Ok pour la question de la fin, là c'est évident, pour le référentiel du passager, le train est immobile alors que pour le référentiel d'espace qu'est la vache, la vitesse est non nulle, le train se meut.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 15:26

Tu dois TOUJOURS définir une référentiel ET une repère. Car, la majorité des loi de mécanique simples ne sont valables que dans un référentiel Galiléen.

Ensuite, il est où le point O ? D'où pour moi, l'absence d'origine.
On prend toujours des repères orthonormés pour des raisons de calculs. Par contre, on prend un repère cartésien pour la raison citée par krinn, à savoir, des dérivées vectorielles nulles. Mais, pour certains problèmes, la formulation cartésienne compliquent fortement les calculs.

Je n'ai pas le droit à un merci :p.

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 17:15

Attends déjà on finit :p (mais merci même si tu t'arrêtes là )

Je me cite :

Citation :
un référentiel quelconque \mathcal R=(O;\vec x,\vec y,\vec z)

Il y a bien une origine O, non ?

Ok pour le référentiel + repère aussi.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 17:26

Non, il a un nom mais pas de position dans ta citation.
Souvent, on met un schéma pour les exos appliqués ou on dit que O app à R³ ou R² pour les exos abstraits.
Enfin, je chipote un peu sur l'origine^^. Je te dis comment je rédige personnellement.

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 17:33

Mais j'aime bien comprendre, donc tant mieux.

Comment pourrais-je donner une position à un point dans un référentiel galiléen par exemple ?
Dire « Soit O un point du référentiel galiléen » suffirait ?
Ça signifie quoi "app" ?

Merci d'avance

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 17:56

app = appartient (je n'ai pas trop le temps de taper en latex).

Oui ça me va à titre personnel si tu précises qu'il est invariant avec le temps. Etant donné qu'un référentiel est l'association d'un repère et d'un domaine temporel. On pourrait imaginer que ton origine soit mobile et cela compliquerait les calculs.

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 18:18

En mécanique classique, et pour un référentiel galiléen, on n'a pas un référentiel invariant avec le temps ?

Enfin du moins que dans les problèmes étudiés les durées sont toujours petites devant celle de la révolution de la Terre (si on prend le référentiel terrestre), donc pas besoin de préciser que O est invariant ?

Un domaine temporel = une durée comportant une infinité d'instants ?

Dernière question :  d(x ) /dt |R = dx/dt pourquoi à droite le "|R" a disparu ?

Désolé pour ces lacunes.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 18:25

En mécanique classique, et pour un référentiel galiléen, on n'a pas un référentiel invariant avec le temps ?

Horreur. Ca n'a pas de sens. Un référentiel est donné pour une durée. Ca n'a pas de sens de dire ça.


Enfin du moins que dans les problèmes étudiés les durées sont toujours petites devant celle de la révolution de la Terre (si on prend le référentiel terrestre), donc pas besoin de préciser que O est invariant ?

Rien à voir.
O pourrait bouger, et ceux quelque soit le durée considérée.

Un domaine temporel = une durée comportant une infinité d'instants ?
Oui.

Dernière question :  d(x ) /dt |R = dx/dt pourquoi à droite le "|R" a disparu ?
Il a disparu car le vecteur unitaire i est associé au référentiel R. Ce serait redondant. Mais tu peux le mettre si ça te rassure.

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 20:26

Ok.

Comme je m'embrouille un peu, je mets mes calculs ; est-ce qu'ils sont bons ?
\dfrac{d(x\vec i)}{dt}|_{\mathcal R}=\dfrac{dx}{dt}|_{\mathcal R}\times\vec i+x\times\underbrace{\dfrac{d\vec i}{dt}|_{\mathcal R}}_{=0}
                  =\dfrac{dx}{dt}|_{\mathcal R}\times\vec i

                  =\dfrac{dx}{dt}\times\vec i.

Grand merci d'avance pour toute l'aide que vous m'apportez.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 20:38

Ce calcul est correct.

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 21:38

ok donc préciser dérivée de x dans le référentiel R ou non revient au même.

Merci ** smiley effacé **

Edit Coll : merci d'utiliser les smileys mis à ta disposition dans ce forum (Lien cassé)

Posté par
krinn Correcteurre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 22:38

Citation :
ok donc préciser dérivée de x dans le référentiel R ou non revient au même.


en maths, quand du dérive f(x) tu ne te préoccupes pas du repère dans lequel tu te trouves
là, c'est pareil, sauf qu'ici c'est x(t).

C'est pour la dérivée vectorielle qu'il faut faire attention.

Posté par
Boltzmann_Solverre : Expression des vecteurs position et vitesse 25-11-12 à 22:50

Je n'aurai pas dit mieux

Posté par
manubacre : Expression des vecteurs position et vitesse 26-11-12 à 00:35

Merci à vous deux pour cet éclaircissement magique (qu'aurais-je fait sans les bases entre mes mains )


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