Niveau école ingénieur

expression approchée intensité de la pesanteur.

Posté par
itsyou 01-11-13 à 19:46

Bonjour.
Je n'arrive pas à trouver l'expression approchée de g (intensité de la pesanteur) pour les faibles altitudes.

On a l'expression g=g₀(R²/(R+Z)²)

Où R est le rayon de la Terre (R=6400km) et g₀ la valeur de g au sol (g=9,81m/s²)

J'ai essayé en faisant un développement limité du dénominateur que j'ai préalablement mis sous la forme : (1+Z/R)², mais je retombe sur la formule de départ.

Normalement la réponse est g~g₀(1-2Z/R).

Posté par re : expression approchée intensité de la pesanteur. 01-11-13 à 19:57

bonsoir

pour x<<1

(1+x)² 1+2x

1/(1+2x) 1-2x

Posté par re : expression approchée intensité de la pesanteur. 01-11-13 à 23:09

Comment peut-on justifier cela? :

Citation :
1/(1+2x)~1-2x

NB : Pour la suite de l'exercice, il faut avoir une étape de calcul qui est la suivante :
g~g₀(1-2Z/R+3Z²/R²+...).

Les points de suspension représentent les termes négligés.
A l'aide du développement limité on obtient juste avant :
g~g₀(R²/(R²+2ZR+Z²+...)).

Je ne vois pas comment on passe de cette étape à celle avec le 3Z²/R².

Posté par re : expression approchée intensité de la pesanteur. 01-11-13 à 23:21

et les développements limitées alors ? tu n'as jamais vu ça ?

on néglige le terme en Z²/R² et les suivants (Z est très petit devant R).

on trouve rapidement l'expression demandée

Posté par re : expression approchée intensité de la pesanteur. 02-11-13 à 09:36

Citation :
Comment peut-on justifier cela? :

1/(1+2x)~1-2x

(1+x)(1-x) = 1-x²

1 au second ordre près

donc 1/(1+x)

1-x
1/(1-x)

1+x

et par extension:
1/(1+nx)

1-nx etc.

d'une façon plus générale tu peux trouver le D.L que tu cherches avec la formule de Mac Laurin

appliquée ici à f(x) = 1/(1+x)²