Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceForum Supérieur de licence PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau licence
Partager :

Experience de millikan

Posté par
nastyjesus 26-12-13 à 13:40

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour une question très simple mais qui me bloque complétement, ça concerne l'expérience de Millikan.
Je dois calculer la masse et le diamètre de billes, en ayant comme donnée la densité de charges superficielles ainsi que la densité de la bille.

Je suis en reprise d'étude donc j'ai beaucoup de lacunes.


Voici un extrait de mon exercice :

I - Principe d'une microbalance sensible à la charge élémentaire.

On pulvérise de petites billes (sphérules ou fines gouttelettes) entre les plaques
horizontales d'un condensateur plan distantes de   = 3 mm, et on observe leur mouvement
dans un microscope. Eclairées latéralement, elles apparaîtront comme des points brillants sur
fond noir. On peut appliquer une différence de potentiel (d.d.p.) variable   aux bornes du
condensateur. Si le condensateur est court-circuité, le champ électrique d'intensité (de
module)   entre les plaques peut être annulé.
1) Les billes sont en général chargées : en effet, l'électrisation statique des corps par
frottement ordinaire est pratiquement inévitable. Sachant que les densités superficielles de
-10-11-2
charge   qui en résultent sont couramment de l'ordre de  ±  10 à  ± 10 C.cm, on cherche
à déterminer l'ordre de grandeur de la masse   et du diamètre   des billes si on veut que
celles-ci portent une ou quelques charges élémentaires seulement.
-11-2
Pour fixer les idées, on considère   =  ± 10 C.cm. Calculer le diamètre et la masse
d'une sphérule de densité 1 qui porterait une seule charge élémentaire    . On gardera ces
valeurs de   et   pour les applications numériques des questions 2) et 3).

Posté par
Froggyre : Experience de millikan 29-12-13 à 16:38

Tu trouves quoi pour d et m nasty ?

Posté par
nastyjesusre : Experience de millikan 30-12-13 à 19:01

Je ne trouve rien car je ne vois pas comment procéder.

Posté par
nastyjesusre : Experience de millikan 02-01-14 à 18:08

Personne ne peut m'aider?

Posté par
nastyjesusre : Experience de millikan 02-01-14 à 18:39

Peut être que le copier coller que je vous mis fait un peu peur alors je vais plutôt synthétiser.

En fait ce qui est demandé c'est de trouver le diamètre et la masse d'une sphère de densité 1 et densité superficielle de charge (sigma) de 10^-11 C.cm^2.
Merci de votre aide

Posté par
nastyjesusre : Experience de millikan 03-01-14 à 19:06

J'ai vraiment besoin de vous svp

Posté par
nastyjesusre : Experience de millikan 04-01-14 à 15:37

up!

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 11-01-14 à 14:25

Alors, je vais t'aider parce que moi aussi j'ai eu du mal à la question 1 de ce même devoir :

On cherche à trouver le diamètre d'une sphérule. Tu dois trouver une formule qui contienne le diamètre de cette bille.
La voici :

Q = * S

On sait que :

S = * d²

car l'on est en présence d'une sphère.

Ainsi,

Q = * * d²

Tu ressors le diamètre de la formule, ce qui donne :

d = \sqrt{\frac{Q}{\sigma * \pi}}

L'ordre de grandeur de Q est de 10^-19 (charge élémentaire e)
Celui de * est de 10^-11

Tu fais donc :

\sqrt{\frac{10^{-19}}{10^{-11}}}

ce qui te donne un ordre de grandeur de 10^-5 cm.

Ensuite,

m = * V

m = \varrho * \frac{\pi * d^{3}}{6}

m = 1 * \frac{\pi * (10^{-5})^{3}}{6}

Ordre de grandeur de m :

10^{-16} g

Voilà!

Personnellement je bloque à la question 2, sur l'équation de mouvement, etc.

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 11-01-14 à 14:33

Désolé du double-post, j'ai oublié de poster la question 2!

La voici :

À champ électrique nul, la chute dans l'air d'un telle bille n'a rien d‘une chute libre. L'action de l'air sur la bille comprend, en plus de la poussée d'Archimède négligeable donc négligée, une force de frottement visqueux \vec{f}= -k\vec{v}, opposée à la vitesse, qui finit par équilibrer le poids, \vec{P}= m\vec{g} de la bille. Celle-ci prend rapidement une vitesse limite v0, v0 = mg/k, qui reste une constante. D'après une loi bien établie (loi de Stokes), le coefficient de frottement est proportionnel au diamètre de la bille : k = \beta d, où est un coefficient caractéristique du fluide ; pour l'air ordinaire, \beta = (1,7*10^{-4} N.m^{-2}.s).

Écrire l'équation du mouvement pour la variable v, la vitesse algébrique de la bille, la résoudre et estimer avec les données ci-dessus la valeur de v0, ainsi que la durée t du mouvement transitoire accéléré. On définira t comme la durée au bout de laquelle la vitesse de la bille atteint 95 % de sa valeur limite. Prendre g = 9,8 m.s^{-2}.

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 11-01-14 à 19:05

Bonjour,
Désolé mais l'aire d'une sphère, ce n'est pas d2 mais 4R2 ...
d2 est l'aire d'un disque...

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 11-01-14 à 19:13

Pour la 2 :
\Large \vec{a}\,=\,m\vec{g}\,-\,k\,\vec{v}
En considérant l'axe vertical orienté vers le bas :
\Large a\,=\,mg\,-\,kv
mais :
\Large a\,=\,\frac{dv}{dt}\,\Rightarrow\,\frac{dv}{dt}\,=\,mg\,-\,kv
D'où :
\Large \frac{dv}{dt}\,+\,kv\,=\,mg
Equation différentielle que tu dois savoir résoudre...

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 11-01-14 à 19:16

Je retire mon premier message...
d2 est bon

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 11-01-14 à 21:27

Héhé, tu m'a fait douter sur l'aire du cercle!

Pour la question 2, je l'avais enfin résolue, en effet j'étais arrivé à une équation différentielle!

Maintenant je bloque ici :

3) Pour une valeur précise de la tension U = U0, la polarité étant celle indiquée sur la figure 1, la bille s'immobilise.

a) Quel est le signe de la charge portée par la bille ?

Je vois vraiment pas comment je devrais faire pour déterminer son signe, j'ai l'impression que je dois faire un calcul mais je vois pas lequel.

b) Quelle est la valeur de U0 sachant que la relation entre intensité E du champ électrique et différence de potentielle U0 est E = \frac{|U_0|}{L} où L est la distance séparant les deux plaques du condensateur (L = 3mm).

Ici, je devrais faire |U_0| = \frac{E}{L} mais je n'ai aucune valeur de E donnée, ni même de U0

c) Que deviendrait cette valeur si on multipliait par dix l'écartement des plaques ?
d) Que se passe-t-il si, avec la même d.d.p., on ne fait qu'inverser la polarité ?

Sans résoudre les 2 autres, impossible de résoudre la c) et d) (je pense)

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 11-01-14 à 23:24

Non, un calcul n'est pas nécessaire...
Mais je n'ai pas la figure 1

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 11-01-14 à 23:39

Oups, la voilà!

Experience de millikan

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 16:16

Le champ électrique est donc orienté du haut vers le bas (du + vers le - ).
La force électrostatique doit être opposé au poids de la la sphère (si on veut qu'elle s'arrête ! ).
Celle-ci doit donc être orientée vers le haut c'est-à-dire en sens inverse du champ électrique.
Ceci indique que la charge doit être négative.
Pour que la sphère s'immobilise, il faut obligatoirement que la somme des forces s'exerçant sur elle soit nulle. Donc la force électrostatique et le poids doivent avoir des normes égales.
Donc :
q E = m g
Donc tu peux calculer E.
Ensuite, on peut calculer U0 avec  |U_0|\,=\,E\,L

L'équation différentielle que j'ai écrite contient une erreur : il y a un "m" qui s'est perdu...
Pour la 2 :
\Large m\, \vec{a}\,=\,m\vec{g}\,-\,k\,\vec{v}
En considérant l'axe vertical orienté vers le bas :
\Large m\,a\,=\,mg\,-\,kv
mais :
\Large a\,=\,\frac{dv}{dt}\,\Rightarrow\,\frac{dv}{dt}\,=\,g\,-\,\frac{k}{m}v\,\,
D'où :
\Large \frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}v\,=\,g
Mais, comme tu l'as trouvée tout seul, ça n'a pas trop d'importance mais je corrige quand même...

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 12-01-14 à 16:37

En effet, tout devient plus clair une fois expliqué! Merci pour l'aide!

Par contre, je bloque sur la suite du même exercice depuis quelques heures et pourtant je suis sûr que c'est tout simple...

L'énoncé est un peu long :

II - Mesure de la charge élémentaire.

Au moment de l'expérience de Millikan (1909), on n'a pas de mesure précise du nombre d'Avogadro N0. Mais on connaît bien, à partir des données de l'électrolyse, la valeur d'une mole de charges élémentaires, c'est-à-dire le Faraday : N0*e = 96500 coulombs (symbole C). Connaissant simplement l'ordre de grandeur de e soit 10-19 C, l'idée était de mesurer e au moyen d'un système décrit dans la partie I ci-dessus.

De fines gouttelettes d'huile (densité 0,92) sont pulvérisées entre les plaques du condensateur distantes de L = 3mm. Comme il s'agit en pratique d'observer au microscope le mouvement de dizaines de gouttelettes, dont la taille exacte est inconnue (on ne voit que des points brillants), on préfère procéder systématiquement de la manière suivante. Les bornes du condensateur sont soit court-circuitées, soit reliées aux pôles d'une batterie fixe de 90 V dans le sens indiqué sur la figure, et on mesure dans chaque cas la vitesse limite : v0 à champ électrique nul, puis v en présence du champ E. D'un ensemble statistique de mesures (v0i, vi), on déduit les charges qi portées par une série de gouttelettes, et on s'aperçoit qu'elles sont multiples d'une même charge e (1,6 10-19 C), ce qui démontre le caractère discret de la charge électrique et fournit en même temps une mesure de e et de N0.

Pour les applications numériques, on prendra la mesure suivante sur une gouttelette : v0 = 4,0*10-5 m.s-1 (évidemment vers le bas !) et v = 5,4*10-5 m.s-1 vers le haut.

1) Montrer que la loi de Stokes permet à Millikan de déterminer la taille (variable) des gouttelettes à partir des mesures de v0. Calculer d en fonction de v0. Faire l'application numérique.

2) Calculer q en fonction de d, E, , v et v0. Faire l'application numérique. En déduire la valeur du nombre d'Avogadro.


Donc, moi, pour la question 1, je me suis dit qu'il fallait réutiliser la relation k = *d

J'ai donc fait ceci :

k = \beta * d

v_0 = \frac{m*g}{k}

v_0 = \frac{m*g}{\beta * d}

d = \frac{m*g}{\beta * v_0}

Seulement, ce ne serait pas logique de procéder comme ceci car on serait obligé d'utiliser la masse de la bille du I.1) pour calculer le diamètre d'une autre bille, ce qui est totalement faux (il me semble).
Je me suis donc dit qu'il faudrait recalculer la masse de chaque bille avec m = *V ; seulement, pour la calculer, il faut le diamètre.
Je suis donc bloqué ici, tu aurais une idée ?

Pour la seconde question, je n'y ai pas encore vraiment réfléchi mais la valeur du nombre d'Avogadro est directement trouvée en passant par N0*e (cf énoncé). Enfin, je me doute que je dois quand même calculer q avant, sinon je n'aurai aucun point!

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 21:26

Et quelque chose comme ça...
\Large v_0\,=\,\frac{m\,g}{\beta\,d}
Mais :
\Large m\,=\,\rho\,V\,=\,\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3\,=\,\rho\,\frac{\pi}{6}\,d^3
d'où :
\Large v_0\,=\,\frac{\rho\,\frac{\pi}{6}\,d^3\,g}{\beta\,d}
\Large v_0\,=\,\frac{\rho\,\frac{\pi}{6}\,d^2\,g}{\beta}

\Large v_0\,=\,\frac{\rho\,\pi\,g}{6\,\beta}\,d^2

\Large d\,=\,\sqrt{\frac{6\,\beta}{\rho\,\pi\,g}}\,\,v_0

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 12-01-14 à 22:02

En effet, c'est astucieux, je n'avais pas pensé à continuer avec m quand j'ai vu que ça ne pourrait pas fonctionner!

Dans le cas de cette question, ça me donne un résultat de 2.3*10-5 cm, ce qui m'a l'air tout à fait cohérent.

Bon, du coup, je me suis penché sur la question 2 et j'ai pensé à me servir de qE = mg, sauf que ça ne peut fonctionner puisque la bille n'est pas immobile ce qui veut donc dire que la somme des forces n'est pas nulle.

J'ai donc dressé une sorte de "bilan" des valeurs que j'ai :

d = 2.3*10-5 cm
E = \frac{U_0}{L} (cette fois, on connaît U0 (90 V) et L (3 mm)
\beta = (1,7*10^{-4} N.m^{-2}.s)
v = 4.0*10-5 m.s-1
v0 = 5.4*10-5 m.s-1

Seulement je vois pas vraiment comment je pourrais calculer q à partir de ces valeurs.
Devrais-je faire une analyse dimensionnelle ?

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 22:11

Il faut certainement commencer par utiliser la 2ème loi de Newton en présence du champ électrique.
\Large m\,\vec{a}\,=\,m\,\vec{g}\,-\,k\,\vec{v}\,-\,q\,\vec{E}\,

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 22:13

Qu'il vaut mieux écrire :
\Large m\,\vec{a}\,=\,m\,\vec{g}\,+\,k\,\vec{v}\,+\,q\,\vec{E}\,
Les "-" provenant du fait qu'au début, je voulais directement projeter sur les axes...

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 12-01-14 à 22:36

Je dois donc retrouver q à partir de la 2ème loi de Newton ?

Je devrais donc projeter sur les axes comme tu l'a fait dans ta précédente réponse puis extraire q ?

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 22:47

Oui, c'est quelque chose comme ça...
Je n'ai pas encore fait le calcul mais il faut résoudre l'équation différentielle en présence de la force électrostatique. Précédemment, ça a été fait sans le force électrostatique (champ électrique nul).

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 12-01-14 à 22:48

Je ne le ferai pas ce soir d'ailleurs parce que je me lève assez tôt demain. Donc je dois aller dormir.

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 13-01-14 à 11:19

Pas de problème!

Bon, personnellement, voilà ce que j'ai trouvé :

m\vec{a} = m\vec{g} + k\vec{v} + q\vec{E}

ma = mg - kv - qE

\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v - \frac{q}{m}E

q = \frac{g-\frac{k}{m}v - \frac{dv}{dt}m}{E}

J'ai l'impression de m'être trompé quelque part.

Cependant, d intervient bien dans l'équation car k = d ; ensuite, v0 intervient aussi car \Large d\,=\,\sqrt{\frac{6\,\beta}{\rho\,\pi\,g}}\,\,v_0 ; tout le reste est évident.

Tu penses que c'est correct ?

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 13-01-14 à 23:47

Non, la résolution de l'équation différentielle est fausse.
Je te mettrai la solution...

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 13:37

Projection sur les axes
\Large m\,a\,=\,m\,g\,-\,k\,v\,-\,q\,E
\Large m\,\frac{dv}{dt}\,=\,m\,g\,-\,k\,v\,-\,q\,E
\Large \frac{dv}{dt}\,=\,g\,-\,\frac{k}{m}\,v\,-\,\frac{q}{m}\,E
Que l'on peut écrire:
\Large \frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,g\,-\,\frac{q}{m}\,E     ou     \Large \frac{dv}{dt}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v\,+\,g\,-\,\frac{q}{m}\,E
selon la façon dont on veut la résoudre...
On peut le faire à la sauce "terminale" (ou d'une autre façon)
\Large y'\,=\,a\,y\,+\,b\,\Rightarrow\,y\,=\,K\,e^{a\,t}\,-\,\frac{b}{a}
Donc :
\Large \frac{dv}{dt}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{m}
D'où :
\Large v\,=\,K\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}\,-\,\frac{\frac{m\,g\,-\,q\,E}{m}}{-\,\frac{k}{m}}
\Large v\,=\,K\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,\,\,\,\,\,(1)
A t= 0 :
\Large v(0)\,=\,K\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,=\,v_0\,\,\Rightarrow\,K\,=\,v_0\,-\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}
En remplaçant dans (1) :
\Large v\,=\,\left(v_0\,-\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\right)\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}
\Large \boxed{ v\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\left(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}\right)\,+\,v_0 }

Quand  t\,\rightarrow\,+\infty\, :

\Large \boxed{v\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,+\,v_0}\,\,\,\,\,\,(2)

\Large v\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E\,+\,k\,v_0}{k}
Donc la vitesse v est dirigée vers le haut si   \large q\,E\,>\,m\,g\,+\,k\,v_0
On peut extraire q de la relation (2).
Comme on doit exprimer " q en fonction de d, E, , v et v0 ", il faut remplacer m par    \large \rho\,\frac{\pi}{6}\,d^3   et k par   \large \beta\,d   et on doit réussir à répondre à la question...

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 14-01-14 à 14:26

Oula oui j'étais bien loin de la réponse en effet...
Je pense avoir tout compris de ce que tu as fait mais je n'aurais jamais pu arriver à ce résultat tout seul...

Cependant, concernant la vitesse v dirigée vers le haut si \large q\,E\,>\,m\,g\,+\,k\,v_0 ; je ne vois pas pourquoi. Peux-tu m'expliquer ?

Merci beaucoup de ton aide en tout cas!

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 14:44

Si tu veux résoudre l'équa diff par une autre méthode, c'est possible évidemment...
Solution totale = solution générale + solution particulière
La solution particulière pouvant être obtenue par la méthode de la "variation de la constante", par exemple.

En ce qui concerne      \large q\,E\,>\,m\,g\,+\,k\,v_0  ,  ce n'est pas demandé.
Mais si la vitesse v est dirigée vers le haut, elle est négative donc :

\Large v\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,+\,v_0\,<\,0

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 14-01-14 à 14:51

Oui j'ai entendu parler de la méthode de la variation de la constante, mais les équations différentielles n'ayant pas été vues au programme de Terminale (à cause de la réforme dont j'ai fait partie), j'ai du mal à les comprendre tout seul!

Enfin bref, merci pour l'explication concernant v, je comprends maintenant!

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 14:55

Ce qui est à peu près évident d'ailleurs puisque, pour que la sphère se dirige vers le haut, il faut que la force électrostatique soit plus grande que les autres.

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 14-01-14 à 15:00

Oui en effet, ce qui confirme \large%20q\,E\,%3E\,m\,g\,+\,k\,v_0 ; tout devient plus clair!

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 19:44

Il est regrettable que les équations différentielles ne fassent plus partie du programme de terminale. A vrai dire, on voit de moins en moins de choses que ce soit en maths ou en physique...
Il n'y a pas grand-chose à retenir, en fait. Simplement ce que j'ai écrit :

Citation :
On peut le faire à la sauce "terminale" (ou d'une autre façon)
\Large y'\,=\,a\,y\,+\,b\,\Rightarrow\,y\,=\,K\,e^{a\,t}\,-\,\frac{b}{a}

Le résultat est facile à montrer . Il suffit de remplacer  y  par cette valeur dans l'équation différentielle.
La constante K est déterminée par les conditions initiales en général.

Je vais terminer le calcul par simple curiosité pour voir les valeurs que l'on trouve, notamment pour le nombre d'Avogadro.

Accessoirement, on peut vérifier que  \large k\,v_0  a bien la dimension d'une force (si on a la curiosité de se poser la question).
\large k\,=\,\beta\,d
\large [k]\,=\,[\beta]\,[d]
\large [k]\,=\,(N.m^{-2}.s).m
\large [k]\,=\,N.m^{-1}.s

Donc :
\large [k\,v_0]\,=\,(N.m^{-1}.s).(m.s^{-1})

\large [k\,v_0]\,=\,N

\large k\,v_0  est donc bien une force et l'inéquation  \large \large%20q\,E\,%3E\,m\,g\,+\,k\,v_0   est donc homogène.

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 19:52

Je peux aussi t'expliquer comment on fait pour résoudre l'équation différentielle avec la méthode de la variation de la constante.

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 14-01-14 à 21:19

Il me semble que les équations différentielles ont été remises au programme de Terminale, la réforme ayant été un échec pendant les 3 années où elle a été mise en place, tout a été remis comme avant! Concrètement, seules les terminales de 2012-2013 ont eu droit au Bac réformé.

Mais en effet, je suis intéressé concernant la méthode de la variation de la constante!

J'aurai aussi besoin de ton aide concernant un autre exercice, si ce n'est pas trop te demander. Apparemment il faut créer un autre topic, étant donné que c'est un nouvel exercice.

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 14-01-14 à 23:13

Comme d'habitude... Il y en a qui essuient les plâtres... Et que disent les "réformateurs" ? Tant pis pour eux ?...
Oui, pour un autre exercice, il faut créer un nouveau topic en principe.
Quand le feras-tu ? Demain, je n'aurai pas vraiment le temps...
La variation de la constante, demain matin peut-être...

Posté par
Keikiraaare : Experience de millikan 14-01-14 à 23:29

Exactement, tant pis pour nous...

Je posterai le topic demain je pense, à toi de voir quand t'as le temps je me suis déjà avancé un peu dessus mais je bloque sur certains points! C'est à propos du théorème de l'énergie cinétique en gros.

Posté par
Aragornre : Experience de millikan 21-01-14 à 17:55

Je reviens sur cette histoire de méthode de variation de la constante... Avec un peu de retard mais quand on ne fait pas les choses tout de suite...
Je reprends l'exemple ci-dessus

\Large m\,\frac{dv}{dt}\,=\,m\,g\,-\,k\,v\,-\,q\,E
\Large \frac{dv}{dt}\,=\,g\,-\,\frac{k}{m}\,v\,-\,\frac{q}{m}\,E

\Large \frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,g\,-\,\frac{q}{m}\,E      (1)

La solution totale est la somme de la solution générale (==> sans second membre) et d'une solution particulière.
1) Solution générale
\Large \frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,0
que l'on résout à la sauce "Terminale" ou bien :
\Large \frac{dv}{dt}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v

\Large \frac{dv}{v}\,=\,-\,\frac{k}{m}\,dt
En prenant la primitive :
\Large ln(v)\,=\,,-\,\frac{k}{m}\,t\,+\,Cste
On pose \Large Cste\,=\,ln(K)
Donc:
\Large ln(\frac{v}{K})\,=\,-\,\frac{k}{m}\,t
\Large \frac{v}{K}\,=\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}

\Large \boxed{v\,=\,K\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}

Mathématiquement, il y a un passage un peu "scabreux". En effet, on devrait écrire  ln(|v|)  au lieu de ln(v)   (parce que v peut être négatif).
On devrait faire :
v > 0 ==> |v|\,=\,v
et :
v < 0 ==> |v|\,=\,-\,v
Mais ça fonctionne quand même...

2) Solution particulière
Pour trouver la solution particulière, on considère que la constante K n'est pas une vraie constante mais que l'on a K(t).
D'où, dans l'équation (1) :
\Large K'\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,-\,K\,\frac{k}{m}\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,+\,\frac{k}{m}\,K\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,=\,g\,-\,\frac{q}{m}\,E
\Large K'\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,=\,g\,-\,\frac{q}{m}\,E
\Large K'\,=\,\left(g\,-\,\frac{q}{m}\,E\right)\,e^{\frac{k}{m}\,t}}
\Large K\,=\,\left(g\,-\,\frac{q}{m}\,E\right)\,\frac{m}{k}\,e^{\frac{k}{m}\,t}}\,+\,C
\Large K\,=\,\left(\frac{m\,g\,-\,q\,E}{m}\right)\,\frac{m}{k}\,e^{\frac{k}{m}\,t}}\,+\,C
\Large K\,=\,\left(\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\right)\,e^{\frac{k}{m}\,t}}\,+\,C

3) Solution totale
\Large v\,=\,\left(\left(\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\right)\,e^{\frac{k}{m}\,t}}\,+\,C\right)\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}
Donc :
\Large v\,=\,C\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}   (2)

A t = 0, v = v0 :
\Large v(0)\,=\,C\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,=\,v_0\,\Rightarrow\,C\,=\,v_0\,-\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}
En remplaçant dans (2) :
\Large v\,=\,\left(v_0\,-\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\right)\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\,+\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}
\Large v\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}\,\left(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}\right)\,+\,v_0\,e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}

Apparemment, dans ma solution précédente, j'ai perdu un  \Large e^{-\,\frac{k}{m}\,t}}  en route.
Donc, quand \normalsize t\,\rightarrow\,+\infty, la vitesse serait :
\Large v(+\infty)\,=\,\frac{m\,g\,-\,q\,E}{k}


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2024

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !