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Etude du pendule simple

Posté par
pyroma 05-01-13 à 15:51

Bonjour,

On considère une masse m, assimilée à un point matériel M, accrochée à une tige rigide T de masse négligeable par rapport à celle de M et de longueur l. La tige peut tourner sans frottement autour du point fixe O, tout en restant contenue dans un plan vertical fixe.

Désolé je n'ai pas de schéma à disposition

La position de" la masse est repérée par l'angle formé par la tige avec la verticale descendante. Le champ de pesanteur est g. Le référentiel d'étude est supposé galiléen.

I. Mouvement sans frottement
On suppose que les frottements sont négligeables. A l'instant t=0, on écarte la tige d'un angle0 et on la lâche sans vitesse.

I.1 Montrer que l'équation différentielle vérifiée par est: \ddot{\theta}+\frac{g}{l}sin\theta=0

FAIT

I.2 Quelle est l'expression de la période T0 des oscillations de faible amplitude ? Calculer T0.

FAIT

I.3 Exprimer l'énergie mécanique Em de la masse m en fonction de m,l,g,\dot{\theta},\theta. on fixera l'énergie potentielle de pesanteur nulle à l'altitude du point O. ( qui est en haut du pendule )

Je trouve \frac{1}{2}ml²\dot{\theta}²+mglcos\theta

I.4 Justifier que l'énergie mécanique se conserve au cours du temps.En déduire l'expression de \dot{\theta}² en fonction de ,0,g,l.

Je trouve \dot{\theta}²=2\frac{g}{l}(cos\theta_0-cos\theta)

I.5 Montrer que la période T des oscillations s'écrit:
T=\frac{T_0}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\theta_0}^{+\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{cos\theta-cos\theta_0}}

Et là je suis complètement bloqué !




II.Oscillations amorties
On tient compte de l'amortissement dû aux forces de frottements exercés par l'air ambiant sur la masse m. Les forces de frottement sont modélisées par une force \vec{f}=-\alpha\vec{v} où est une constante positive et \vec{v} le vecteur vitesse instantané de la masse m. On constate que l'amplitude des oscillations diminue lentement au cours du temps.

II.1 Par dérivation de l'intégrale première du mouvement, montrer que l'équation différentielle vérifiée par , pour des oscillations de faibles amplitude, se met alors sous la forme

\ddot{\theta}+\frac{2}{\tau}\dot{\theta}+\omega_0²\theta=0
et donner l'expression de \tauet \omega_0 en fonction de m,\alpha et g.

besoin d'aide aussi ici.

II.2 A quelle condition sur \tau la masse m oscille-t-elle ? Exprimer la pseudo-période \omega en fonction de \omega_0 et \tau

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 16:05

Bonjour

c'est quoi le point O ? c'est le point d'accroche du pendule (d'altitude \theta=\pi/2) où c'est le point tout en haut (d'altitude \theta=\pi) ?

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 16:17

On va dire que au bout du fil il y a le point M ( la masse) et à l'autre bout il y a O.

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 16:38

Ok,

alors E_p={\red -}mg\ell\cos\theta et l'on a :


\large\dot{\theta}^2=2\frac{g}{\ell}{\red(\cos\theta-\cos\theta_0)}

Donc puisque \omega_0^2=g/\ell et T_0=2\pi/\omega_0 il vient :


\large\dot{\theta}^2=\frac{8\pi^2}{T_0^2}(\cos\theta-\cos\theta_0)

Soit :

\large\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2=\frac{8\pi^2}{T_0^2}(\cos\theta-\cos\theta_0)

Intéressons-nous à ce parcours : \theta va de \theta_0 à 0 (qui s'effectue en un temps égal à T/4 ) soit \dot{\theta}<0 et donc :

\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{2\sqrt{2}\pi}{T_0}\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}

puis :

\large\boxed{-\frac{T_0}{2\sqrt{2}\pi}\int_{\theta_0}^0\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}=\int_0^\frac{T}{4}\mathrm{d}t}


ce qui s'écrit encore, en tenant compte du fait que l'intégrande est une fonction paire :


\large\boxed{\frac{T_0}{4\sqrt{2}\pi}\int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}=\int_0^\frac{T}{4}\mathrm{d}t}

Puis :

\blue\large\boxed{T=\frac{T_0}{\pi\sqrt{2}}\int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}}

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 16:49

Je m'étais donc tromper de signe pour l'Epp...

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 16:51

Vraisemblablement

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 17:55

Il me faudrait une petite aide pour la suite aussi...

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 17:58

Appliques le PFD pour obtenir l'équation différentielle

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:02

Et comment tu trouves que ça met T/4 pour allez de theta à 0 ? Et pourquoi \dot{\theta}<0 ? Et voilà c'est tout ce que j'ai besoin de savoir..

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:04

On me demande par dérivation de l'intégrale première du mouvement et j'ai pas vu comment faire lorsqu'il y a des forces de frottements...

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:12

T/4 c'est bon,   mais mon autre question nan

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:34

En appliquant le PFD, je trouve la même expression mais avec un hic, c'est le 2/tau, moi j'ai 1/tau

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:40

comment ça ? c'est toi qui le poses le tau.

Si ton coefficient devant theta point c'est quelquechose du genre 1/a, tu pose tau=2a et tu obtiens bien ton 2/tau.

D'ailleurs donne-moi les expressions que tu trouves pour tau et omega_0.

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:42

Excuse-moi j'ai pas vu toutes tes questions :

lorsque theta passe de theta_0 à 0, theta diminue donc theta point est négative !

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 18:53

Ok et bien moi j'ai tau=m/a et omega_0²=g/l

J'ai fait comme cela P+T+f=ma

Je projette suivante Utheta

J'obtient ml\ddot{\theta}=-mgsin\theta-\alpha l\dot{\theta}

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 19:11

Ben oui c'est ça !

Donc :

\large\red\boxed{\ddot{\theta}+\frac{\alpha}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0}

\large\omega_0^2=\frac{g}{l}

\large\frac{2}{\tau}=\frac{\alpha}{m}\ \Leftrightarrow\ \tau=2\frac{m}{\alpha}


A quelle condition sur la masse oscille-t-elle donc ?

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 19:25

Oui c'est ça

je vois pas trop... tau différent de 0 je dirais mais bon c'est à tout hasard que je dis ça

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 19:25

Mais on me demande de trouver l'équa diff à partir de l'intégrale première du mouvement et non du PFD...

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 19:56

L'intégrale première du mouvement c'est E_m=W_{\mathrm{nc}}

où W_{\mathrm{nc}} est le travail des forces on conservatives.

Le E_m c'est le même qu'avant, il faut calculer ce fameux travail.

En dérivant l'intégrale première du mouvement on a :

\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t}=P_\mathrm{nc}

où P_\mathrm{nc} est la puissance des forces non conservatives.

_______

Pour ce qu'il s'agit des oscillations, on peut résoudre l'équation différentielle. En fonction des valeurs des paramètres, on obtiendra soit :

- régime amorti
- régime critique
- régime pseudo-périodique

seul le régime pseudo-périodique est le siège d'oscillations.

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 20:33

Donc Em=Ec+Epp    Em=\frac{1}{2}ml²\dot{\theta}²-mglcos\theta si je n'ai pas fait d'erreur de signe cette fois...

Ensuite le travail des forces de frottements W_f=-f\times OM car cos(f.om)=-1
OM c'est la primitive de la vitesse  ? ça j'y arrive pas enfin je me perds dans mes calculs là...

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 20:42

Pour un régime pseudo périodique il faut que Q>1/2 de plus \tau=\frac{2Q}{\omega_0} et \omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}} après calcul j'ai \omega_0=3.1 donc \tau>1/3.1

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 21:48

En dérivant j'ai les deux tiers il me manque que la partie avec \dot{\theta} j'ai donc un problème au niveau du travail de la force f... peux-tu m'aider ?

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 22:53

Utilises plutôt la formule :

\large\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t}=P_\mathrm{NC}

Avec P_{NC}=\vec{f}.\vec{v}.

Pour le travail en fait tu vas avoir une expression pas trop utilisable :

\large W_{NC}=\int_\mathrm{déplacement}\delta W_{NC}=\int_\mathrm{deplacement}\vec{f}.\mathrm{d}\vec{OM}=\int\vec{f}.\vec{v}\mathrm{d}t

Mieux vaut utiliser l'expression différentielle :

\mathrm{d}E_m=\delta W_{NC}=\vec{f}.\vec{v}\mathrm{d}t

qui est directement en divisant par dt l'équation du haut.

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 22:54

Ok pour le régime pseudo-périodique !

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 23:12

dEm=ml²\dot{\theta}\ddot{\theta}+mgl\dot{\theta}sin\theta   ??

tu as marqué \vec{P_{NC}}=\vec{f} \vec{v} donc P_{NC}=-\alpha v²

Du coup dEm=ml²\dot{\theta}\ddot{\theta}+mgl\dot{\theta}sin\theta=-\alpha l²\dot{\theta}² et c'est bon ! C'est ça ?

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 23:32

Exactement

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 05-01-13 à 23:33

Dans tes formules avec dEm en fait c'est dEm/dt

Posté par
pyromare : Etude du pendule simple 05-01-13 à 23:38

Merci beaucoup !

Posté par
athrunre : Etude du pendule simple 06-01-13 à 12:27


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