Bonjour, j'aurais besoin d'un coup de main pour cet exo, merci. je suis bloqué pour établir les équations différentielles.

On se propose d'étudier les analogies entre un oscillateur électrique et un oscillateur mécanique.
On considère les deux dispositifs suivants :

-un circuit électrique comprenant: une bobine d'inductance L, de résistance nulle, un condensateur de capacité C et un interrupteur.

-un système solide-ressort horizontal comprenant : un solide de masse m glissant sans frottement le long d'un axe horizontal Ox ; un ressort à spires non jointives de constante de raideur k dont l'une des extrémités est attaché au solide de masse m et dont l'autre extrémité est fixée rigidement à un support fixe.

(voir les images plus bas).

A. Etude du comportement temporel des deux modèles d'oscillateurs :

1)Etablir l'équation différentielle régissant le "comportement temporel de la charge" q(t) du condensateur. En utilisant les conditions initiales, en déduire l'expression de q(t). Donner l'expression de la période T₀ de cet oscillateur.  

2)Etablir l'équation différentielle régissant le comportement temporel de l'élongation x(t) du ressort. En utilisant les conditions initiales, en déduire l'expression de x(t). Donner l'expression de la période T0 de cet oscillateur.

B. Etude énergétique des deux oscillateurs :

3)On étudie dans un premier temps l'énergie du dipôle LC.

-Donner l'expression de l'énergie EC(t) stockée dans le condensateur.
-Donner l'expression de l'énergie EL(t) stockée dans la bobine.
-Que peut-on dire de la somme EC(t) + EL(t).

4)On étudie à présent l'énergie de l'oscillateur mécanique.

-Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec(t).
-l'énergie potentielle élastique Ep(t) s'exprime par: Ep(t)=1/2*k(x(t))².
-Que peut-on dire de la somme Ep(t) + Ec(t).

C. Introduction d'une dissipation d'énergie :

Que devient l'équation différentielle régissant le comportement de q(t) si la résistance r de la bobine n'est plus négligeable ?
De même écrire l'équation différentielle vérifiée par le mobile si les frottements mécaniques ne sont plus négligeables. On considère que les frottements sont visqueux : la force de frottement (vecteur f) est proportionnelle à la vitesse  (vecteur f = -h*vecteur v).

D. Analogies

Pour conclure cette étude des analogies entre un oscillateur mécanique et un oscillateur électrique, on se propose de chercher la grandeur électrique correspondant à chaque grandeur mécanique. En utilisant tout ce qui précède compléter le tableau suivant :