Niveau maths spé

Equilibre hydrostatique

Posté par
WilliamM007 05-06-14 à 22:22

Bonsoir,

J'ai un petit problème à propos de l'équation de l'hydrostatique :
$\vec{f}_{v}=\vec{grad}P$
Où P est la pression et $\vec{f}_{v}$ la force volumique.

Dans le cas d'une distribution sphérique, où $\vec{f}=m\vec{g}=mg(r)\vec{e}_{r}$ ,
alors $\vec{f}_{v}=\rho (r) \vec{g}$ (où $\rho (r)$ est la masse volumique qui dépend du rayon r),
et $\vec{grad} P=\frac{\partial P}{\partial r} \vec{e}_{r}$ ,
donc : $\rho (r)g(r)=\frac{\partial P}{\partial r}$

Pourtant si je raisonne sur une petite portion de la sphère (de volume r²sin()drdd), alors :
Il s'exerce $\vec{f}=m\vec{g}=\rho (r) r^2 dr sin \theta d \theta d\phi g(r) \vec{e}_{r}$ (le poids)
et les forces de pressions sur les côtés s'annulent, et il reste la force s'exerçant en r :
$r^2 sin\theta d \theta d \phi P(r)\vec{e}_{r}$
et celle s'exerçant en r+dr :
$-(r+dr)^2 sin\theta d \theta d \phi P(r+dr) \vec{e}_{r}$
Donc, à l'équilibre, la somme de ces forces étant nulle, on trouve :
$\vec{f}=m\vec{g}=\rho(r) r^2 dr sin\theta d\theta d \phi g(r)\vec{e}_{r}=[(r+dr)^2 sin\theta d \theta d \phi P(r+dr) - r^2 sin\theta d \theta d \phi P(r)]\vec{e}_{r}$
Donc après simplification par $sin \theta d \theta d \phi$ :
$\rho(r)r^2 dr g(r)=((r+dr)^2P(r+dr)-r^2P(r))=\frac{\partial(r^2P)}{\partial r} dr$
Donc :
$\rho(r)g(r)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 P)}{\partial r}$
ce qui est contradictoire avec $\rho (r)g(r)=\frac{\partial P}{\partial r}$

Auriez-vous une explication ? Merci.

Posté par re : Equilibre hydrostatique 06-06-14 à 11:21

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi le poids est radial chez vous ? J'ai raté quelque chose ?
Avec un petit schéma, je crois que cela serait plus clair...

D'autre part, on fait plutôt un développement en puissances de $dr$ dans l'expression $(r+dr)^2P(r+dr) - r^2P(r)$ et on ne garde que je premier ordre.

Posté par re : Equilibre hydrostatique 06-06-14 à 15:33

Un poids radial vous choque ? On est attiré vers le centre de la Terre non ?

De toute façon l'expression du poids importe peu.
Et pour l'histoire du premier ordre, je ne suis pas tellement convaincu :/

Posté par re : Equilibre hydrostatique 06-06-14 à 15:55

Et si vous commenciez par donner un énoncé complet ? Avec un schéma ? En disant quel est le système étudié ?
Toussa quoi....

Pour "l'histoire du premier ordre", tant pis pour vous, je ne suis pas un gourou de secte, je ne cherche pas à vous convaincre, je ne suis pas dans la croyance en ce qui concerne la physique, et encore moins les calculs.

Posté par re : Equilibre hydrostatique 06-06-14 à 16:35

L'énoncé est le suivant :
Soit un astre fluide à symétrie sphérique où P(r) est la pression, (r) la masse volumique et r la distance au centre de l'astre.
Le champ de pesanteur dû à l'astre est noté $\vec{g}=g(r) \vec{e}_{r}$ .
En utilisant l'équilibre de l'astre, déterminer une relation entre g(r) et (r).

Le système que j'étudie est la petite portion de sphère de volume r²sin()drdd
(dans le schéma il faut lire r au lieu de ).

Et pour moi, si l'on considère la fonction f:rr²P(r), alors :
(r+dr)²P(r+dr)-r²P(r)=f(r+dr)-f(r)=(f/r)dr
Il s'agit bien là d'un premier ordre, non ?

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