Niveau terminale

Equations différentielles d'électricité...

Posté par
L3CTRO 17-04-11 à 17:36

Bonjour, cela fait maintenant plus de deux mois que je cherche à répondre à une question, qui me paraît pourtant simple, mais pour laquelle pourtant ma professeur de physique pense que "c'est comme ça, et pas autrement".
Voici mon problème : depuis que nous avons entamé le chapitre sur l'électricité en Physique, et plus particulièrement commencé les équations différentielles, je suis perdu ; en réalité j'ai beaucoup de mal à comprendre pourquoi fait-on comme ça.
Ce qui n'aide pas c'est que j'ai commencé le chapitre de mathématiques sur les équa diff après avoir fini l'électricité en Physique.
C'est donc pourquoi, désespéré, je me retourne vers des âmes charitables afin de comprendre la première des équations différentielles de Physique, celle de la charge du condensateur.
Mon circuit comprend un générateur, un condensateur et une résistance.
Ainsi, E = u_R + u_C selon la loi d'additivité.
Puis, on sait que :
u_R = Ri
$i=\frac{dq}{dt}$
q = Cu_C
Donc : q = iC $\frac{du_{c}}{dt}$
Jusque là, je comprends. C'est après que ça se corse :
$E=u_{c}+RC\times\frac{du_{c}}{dt}$ , puis on divise par RC
$\frac{E}{RC}=\frac{1}{RC}\times u_{c}+\frac{du_{c}}{dt}$

Pourquoi cette ligne est-elle suivie de la notion "Equation différentielle du premer ordre en $u_{c}$ ?
Pourquoi doit-on en arriver là afin de calculer la progression de $u_{c}$ en fonction du temps ?

Puis on pose $\tau=RC$ , d'où
$\frac{E}{\tau}=\frac{1}{\tau}\times u_{c}+\frac{du_{c}}{dt}$

En quoi cela nous aide ?

Puis, toujours selon mon cours, on calcule la solution de l'équation différentielle.
$\dot u_{c}=-\frac{1}{\tau}\times u_{c}+\frac{E}{\tau}$
Personnellement, je ne sais pas d'où on sort cette expression. Puis on déduit que $a = -\frac{1}{\tau}$ et $b = \frac{E}{\tau}$
D'où la solution $u_{c}(t) = A\times e^{-\frac{t}{\tau}+E$
Je comprends pourquoi selon le cours de maths.
Après quelques calculs, on trouve avec les conditions initiales que A = -E, donc la solution s'écrit $u_{c}(t) = E\times\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}\right)$

Voila le tout. Je comprend le début, je comprend la fin, mais pas le milieu, en fait. Pouvez-vous m'aider à répondre à mes questions en gras ? Merci d'avance.

Posté par re : Equations différentielles d'électricité... 17-04-11 à 18:09

Bonjour,

Citation :
Pourquoi cette ligne est-elle suivie de la notion "Equation différentielle du premer ordre en $u_{c}$ ?

Il vaut mieux l'écrire :
$3$\frac{du_{c}}{dt}\,+\,\frac{1}{RC}\times u_{c}\,=\,\frac{E}{RC}$
Il s'agit d'une équation qui établit une relation entre la dérivée de u_c, la tension u_c et une constante.
Comme il y a la dérivée de u_c, on appelle ça une équation différentielle.
"du premier ordre" parce que c'est la dérivée première qui intervient.

Citation :
Pourquoi doit-on en arriver là afin de calculer la progression de u_{c} en fonction du temps ?

On ne peut écrire une relation plus simple pour trouver u_c puisqu'elle varie en permanence. Le courant, en particulier, dépend de la valeur de u_c.

Citation :
En quoi cela nous aide ?

En posant

= RC, cela ne nous aide pas particulièrement. L'écriture est un peu plus simple.

Utilise la méthode de ton cours de maths pour résoudre cette équation.
$3$\frac{du_{c}}{dt}\,+\,\frac{1}{RC}u_{c}\,=\,\frac{E}{RC}$
C'est une équation de la forme : y' = ay + b dont la solution est :
$3$y\,=\,k\,e^{at}\,-\,\frac{b}{a}$
Donc :
$3$\frac{du_{c}}{dt}\,\,=\,-\,\frac{1}{RC}\,u_{c}\,+\,\frac{E}{RC}$
D'où, en identifiant :
$a\,=\,-\,\frac{1}{RC}$
$b\,=\,\frac{E}{RC}$
Donc la solution est :
$3$u_c\,=\,k\,e^{-\,\frac{t}{RC}}\,-\,\frac{\frac{E}{RC}}{-\,\frac{1}{RC}}$

$3$\fbox{u_c\,=\,k\,e^{-\,\frac{t}{RC}}\,+\,E}$
Les conditions initiales permettent de déterminer k. Par exemple, $u_c(0)\,=\,0$
$3$u_c(0)\,=\,k\,+\,E\,=\,0\,\Rightarrow\,k\,=\,-\,E$
D'où la solution :
$3$u_c\,=\,-\,E\,e^{-\,\frac{t}{RC}}\,+\,E$

$3$\fbox{\red{u_c\,=\,E\,\left(1\,-\,e^{-\,\frac{t}{RC}}\right)}}$

J'espère que cela t'aura éclairé un peu...

Posté par re : Equations différentielles d'électricité... 17-04-11 à 20:40

Merci pour ta réponse rapide.
Ce que je ne comprends toujours pas c'est à quoi correspondent Uc et Uc' dans l'expression...

Posté par re : Equations différentielles d'électricité... 17-04-11 à 22:32

Je dirais que U'_c est la dérivée de U_c $\left(\frac{dU_c}{dt}\right)$ et U_c est la tension aux bornes du condensateur.
Mais ça ne t'apprend rien, je suppose...
U_c est l'expression mathématique qui donne l'évolution de la tension aux bornes de C et U'_c en est la dérivée.
Mais je ne suis pas sûr d'avoir répondu à ta question...

Posté par re : Equations différentielles d'électricité... 18-04-11 à 15:36

Non en fait je viens de comprendre, c'est juste que les conventions d'écriture m'embrouillent un peu.
Merci encore pour ton aide précieuse pour mon second bac blanc.

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