Il me semble bien qu'il y a une bisbrouille dans les équations qui ne sont pas homogènes.

Les 1er membres des équations devraient être des dérivées secondes et pas premières.

Sauf distraction.  

Bonjour,

Oui J-P a raison.

Pour découpler les équations, passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques:

i.e, pose a = x-iy et b = x+iy.

Tu devrais reconnaître le terme de couplage tantôt comme i*a et tantôt comme -i*b et tu auras deux équations complexes découplées
en a et b.

Oui bien sûr je me suis trompé avc latex , il y a aussi une erreur de signe. Voilà les équations :



avec q=-e

En posant et on a :




Il faut alors les découpler.

Ah je n'avais jamais vu cette méthode, j'ai essayé des combinaisons linéaires, intégrations, rien ne marchait.

Le signe dans le terme de couplage ne change rien au découplage, voir ma réponse plus haut.

Oui c'est parcequ'il y a quelque chose de fondamental dans le couplage qui ne vient que de la représentation cartésienne du champ magnétique (le champ magnétique n'est pas un vecteur).

C'est un tenseur de rang 2 complètement anti-symétrique par rapport au groupe des rotations ou pseudo-vecteur si tu veux, comme tout produit vectoriel.

En passant par la représentation sphérique (parfois appelée irréductible) ici des tenseurs de rang 1 (i.e vecteur de R3), il n'y a pas ce couplage.

D'accord merci pour toutes ces informations. J'ai une dernière question, pourquoi lorsque l'on fait le changement de variable complexe parle t-on de passage en sphérique ?

Autrement:

2eme équation :

d²y/dt² = -(qB/m).dx/dt - (L/m).dy/dt
dx/dt = -(d²y/dt² + (L/m).dy/dt)*m/(qB)
On dérive -->
d²x/dt² = -(d³y/dt³ + (L/m).d²y/dt²)*m/(qB)

remis dans la 1ere équation :

-(d³y/dt³ + (L/m).d²y/dt²)*m/(qB) = (qB/m).dy/dt + (L/m).(d²y/dt² + (L/m).dy/dt)*m/(qB)

m/(qB) . d³y/dt³ + 2L/(qB).d²y/dt² + 2(qB/m).dy/dt = 0

d³y/dt² + (2L/m).d²y/dt² + 2.dy/dt = 0

et en posant par exemple w = dy/dt :

d²w/dt³ + (2L/m).dw/dt + 2.w = 0

facile à resoudre ... on a alors w(t) = ...

soit donc dy/dt = ...

et ensuite y(t) = ...

...
-----
Sauf distraction.  (vérifie)

Zut, dans mon message précédent, lire :

...

d³y/dt³ + (2L/m).d²y/dt² + 2.dy/dt = 0

et en posant par exemple w = dy/dt :

d²w/dt² + (2L/m).dw/dt + 2.w = 0

...

younes1,

"J'ai une dernière question, pourquoi lorsque l'on fait le changement de variable complexe parle t-on de passage en sphérique ?"

Parce que ce que tu crois être un simple changement de variable complexe comme tu dis est en fait un changement en base sphérique.


Ce que j'ai écris, a = x-iy,b = x+iy et si j'ajoute maintenant c=z, SONT officiellement les 3 composantes sphériques de ton vecteur position de composantes cartésiennes x,y,z..

En générale, il y a une très grande différence entres les coordonnées et les composantes d'un vecteur. L'une est une representation co-variante, l'autre contra-variante.
Cette différence est la même que celle entre un espace vectoriel et son dual.
Bref je vais éviter de m'étaler, la BASE sphérique est par définition standard complexe.. et tant que tes objets physiques sont des tenseurs de rang 1 par rapport aux rotations tout va bien, tu peux faire comme si c'étaient des vecteurs de R3, i.e des vecteurs issus d'un espace vectoriel réel et considérer aussi des vecteurs de base sphérique réels.

Toute la subtilité est ici:
En sphérique, prendre le complexe conjugé de a = x - iy = r sin theta e^-iphi, c'est comme changer -phi en phi, c'est comme un changement des axes du repère (de la base) ! Alors tu peux faire ca tant que ta grandeur physique ne dépends pas du choix des axes, c'est-à-dire ici un tenseur
de rang 1 par rapport au groupe des rotations ! C'est le cas du vecteur position, mais pas le cas d'un produit vectoriel, pas le cas d'un champ magnétique, d'un moment cinétique où un retournement des axes change leur définition.

J-P : Merci pour cette deuxième méthode, j'ai bien vérifié.

magisterien : Merci pour cet éclairage, je n'avais pas imaginé que les découplages d'equations différentielles puissent être associés à un changement de base et qu'il y a vraiment une théorie derrière. Et pour ce qui est de la base sphérique on l'a défini en mécanique avec deux angles et la distance r entre le point considéré et l'origine mais pas avec les complexes.

younes1,

Oui oui, je ne voulais pas introduire de confusion dans ton esprit. La base orthogonale sphérique que tu connais est différente de celle
dont je parlais par la représentation complexe dans le plan xy. Lien

Tu verras son utilité plutard, par exemple en physique quantique.

Il y avait une erreur de coefficient dans ma réponse ... mais cela ne change rien au principe.


d²x/dt² = qB/m.dy/dt - (L/m).dx/dt  (1)
d²y/dt² = -(qB/m).dx/dt - (L/m).dy/dt (2)

(2) --->
(qB/m).dx/dt = - d²y/dt² - (L/m).dy/dt

dx/dt = - m/(qB) d²y/dt² - (L/(qB)) dy/dt

d²x/d²t = - m/(qB) d³y/dt³ - (L/(qB)) d²y/dt²

remis dans (1) --->

- m/(qB) d³y/dt³ - (L/(qB)) d²y/dt² = qB/m.dy/dt + (L/m).(m/(qB) d²y/dt² + (L/(qB)) dy/dt)

qB/m.dy/dt  + (L/(qB)) dy/dt)

m/(qB) d³y/dt³ + 2.(L/(qB)) d²y/dt² + (qB/m + L²/(mqB)).dy/dt = 0

d³y/dt³ + 2.(L/m) d²y/dt² + (q²B²/m² + L²/m²).dy/dt = 0

En posant dy/dt = w :

d²w/dt² + 2.(L/m) dw/dt + (q²B²/m² + L²/m²).w = 0

qui est facile à résoudre ..., on trouve w(t) = ...

et comme w = dy/dt, on trouve facilement y(t) = ...

Sauf nouvelle distraction.  

magisterien : D'accord merci tout de même pour les explications.

J-P : en effet, mais j'ai compris le principe merci.