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Equation différentielle sur AOP
Bonjour à tous,
Voila j'ai un problème qui constitue à déterminer l'équation différentielle vérifiée par vs(t) en fonction des autres variables selon le schémas ci-dessous.
En fait, je n'ai jamais réalisé d'ED avec un tel circuit, je pourrais établir l'équation du filtre, mais je ne vois pas en quoi cela pourrais m'aider à trouver l'ED.
-> Établir l'ED vérifiée par vs(t)
-> Quels sont les conditions sur R',C et w, pour que le montage soit intégrateur?
-> Quel sera alors la réponse vs(t) du filtre
-> Quels sont les conditions sur R', C et w pour que vs(t) = k ve(t)
Préciser alors le gain du filtre.
-> Pour ve(t)=E, déterminer vs(t) qui vérifierais l'ED
-> déterminer vs(t) par un développement limité en t/RC, en déduire que le montage est intégrateur.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer, je ne sais absolument pas par où commencer. (J'ai représenté les fils de même potentiel de la même couleur)
Merci à tous
Salut,
je te conseille d'utiliser les notations complexes et d'appliquer le th. de Millman à l'entrée inverseuse.
Tu pourras ensuite déterminer l'ED
1)
i = Ve/R
i = i1 + i2
Vs = -R'.i1
i2 = -C.dVs/dt
Ve/R = -Vs/R' - C.dVs/dt
dVs/dt + Vs/(R'C) = -Ve/(RC)
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2)
Si R' est absente (R' --> +oo)
L'équation differentielle Ve/R = -Vs/R' - C.dVs/dt devient :
Ve/R = - C.dVs/dt
dVs = - (1/(RC)). Ve.dt
Et le montage est alors intégrateur (mais inverseur).
Donc il suffit que R' soit enlevée du montage, C et w peuvent être n'importe quoi... pour autant que l'AOP reste dans son mode de travail linéaire.
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4)
Pour avoir vs(t) = k ve(t), il faut enlever C (donc C --> 0)
L'équation differentielle Ve/R = -Vs/R' - C.dVs/dt devient alors : Ve/R = -Vs/R'
Vs = -(R'/R).Ve
Le gain du filtre est alors k = -R'/R
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5)
Pour Ve(t) = E (constante)
dVs/dt + Vs/(R'C) = -E/(RC)
a) Solutions de dVs/dt + Vs/(R'C) = 0
Vs = A.e^(-t/(R'C))
b) solution particulière de dVs/dt + Vs/(R'C) = -E/(RC)
Vs = - (R'/R).E
c) Solutions générales de dVs/dt + Vs/(R'C) = -E/(RC)
Vs(t) = A.e^(-t/(R'C)) - (R'/R).E
La valeur de A dépend d'une condition initiale non précisée dans l'énoncé.
Dans le cas particulier où on aurait Vs(0) = 0, alors A = (R'/R).E
et cela donnerait: Vs(t) = - (R'/R).E.(1 - e^(-t/(R'C)))
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Sauf distraction.
Donc il ne faut en aucun cas passer par l'équation du filtre, mais concrètement, l'APO sert à amplifier une tension, alors comment réagir face à ce problème? L'APO ne sert-il ici qu'à trouver les différentes relations entre les potentiels de chaque fil?
L'APO ne sert-il ici qu'à trouver les différentes relations entre les potentiels de chaque fil?
Quelle drôle de question.
La présence de l'ampli peut modifier profondément la réponse du circuit.
On remarquera par exemple que Vs est fourni sur la très faible impédance de sortie de l'ampli OP et que donc, si on charge ce filtre en sortie, cela ne modifie pratiquement pas le comportement du filtre. Alors que sans ampli, la réponse du filtre peut être fortement modifiée par la charge.
En fait, le circuit proposé, composé d'éléments R et C et d'un amplificateur opérationnel
interconnectés, forme un tout et constitue un filtre actif intégrateur. L'amplificateur est indispensable. Si on le supprimait, il ne resterait qu'un filtre RC passif, non pas intégrateur mais ayant plutôt un effet passe-haut.
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