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Equation differentielle en i

Posté par
oussema12 18-11-22 à 18:14

Bonjour,
Quelqu'un peut-il vérifier ma réponse s'il vous plaît ?

dans la correction ils ont trouvé $i(t) = \frac{E}{R + r}e^{\frac{-t}{\tau}}$

soit le circuit de la figure suivante
à t = 6s le regime permanent du dipole RL est atteint ( $Ip = \frac{E}{R + r}$ )
à t = 6s on annule le courant (le circuit devient equivalent au circuit de la 2éme figure)

l'équation différentielle relative à i est:

$di(t)/dt + \frac{R + r}{L}.i(t) = 0$

▪︎ Déterminer l'expression de i(t)

$une solution de lequation differentielle relative a i est i(t) = A.e^{-at} \\ donc on a -A.a.e^{-at} + \frac{R + r}{L}.A.e^{-at} = 0 \\ on a i(t = 6s) = A.e^{-a.6} = \frac{E}{r + R} \\ donc A = \frac{E}{e^{-a.6}(r + R)} \\ l'équation -A.a.e^{-at} + \frac{R + r}{L}.A.e^{-at} = 0 est verifiee pour tout t \geq 6s \\ alors -A.a + \frac{R +r}{L}.A = 0 \\ alors a = \frac{R + r}{L} = \frac{1}{\tau} \\ ainsi i(t) = \frac{E}{e^{\frac{-6}{\tau}}(R + r)}e^{\frac{-t}{\tau}} \\ donc i(t) = \frac{E}{R + r}e^{\frac{-(t - 6)}{\tau}}$

Equation differentielle en i

Posté par re : Equation differentielle en i 18-11-22 à 18:27

Bonsoir
Ce que tu as fait me semble correct.

Citation :
dans la correction ils ont trouvé $i(t) = \frac{E}{R + r}e^{\frac{-t}{\tau}}$

Ton corrigé a sans doute opéré un changement de variable en choisissant comme nouvelle origine des dates l'ouverture de (K), ce qui revient à poser t'=t-6 et :

$i(t') = \frac{E}{R + r}e^{\frac{-t'}{\tau}}$
Attention tout de même : le circuit que tu as dessiné en bleu et que tu as étudié théoriquement ne correspond pas au circuit de la figure 1 interrupteur (K) ouvert.

Posté par re : Equation differentielle en i 18-11-22 à 19:02

Voici le schéma du circuit que tu as étudié. l'interrupteur (K) est à deux positions. La position (1) est celle utilisée pour t<6s. A la date t=6s, (K) bascule en position (2) et le circuit devient effectivement équivalent à celui que tu as étudié.
Imagine que tu réalise effectivement le circuit de ta figure 1. A l'ouverture de l'interrupteur, i passe de la valeur I_p à une valeur nulle en une durée extrêmement courte. la dérivée (di/dt) prend pendant un temps très court une valeur négative de valeur absolue extrêmement grande. Il apparait alors une très forte surtension aux bornes de l'interrupteur qui provoque une grosse étincelle entre les bornes de l'interrupteur susceptible de détériorer celui-ci. A moins de disposer d'un interrupteur spécifique, fabriqué justement pour visualiser ce phénomène, il faut éviter de réaliser ce circuit !

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