Je pense que la solution de ton équation différentielle est :

Oui, je le sais, mais je n'arrive pas à trouver ce 1, je tombe sur zéro...

u(t) = K (constante) est une solution particulière de l'équation différentielle.
On a alors u'(t)=0
On recherche la valeur de K :
u'(t) = a(1-u(t))
0 = a(1-K)
K=1

La solution est la somme des solutions de l'équation sans 2e membre et de la solution particulière :



A la date t=0 on a u(0) = 0
donc 0 = C + 1
C = -1

ce qui donne :